如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=

π

2

，AB=PA=

1

2

CD=2，BC=4，M为PD的中点，则（　　）

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点，下列说法正确的是（　　）

下列说法中正确的是（　　）

在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中有多少学生上课睡觉”设计A、B两个问题，A问题“你是否上课睡觉”B问题“你是否在上半年出生”小组成员邀请学生逐一在装有A、B问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（B问题肯定与否定的概率视为相等）．
（1）若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内上课睡觉的学生人数；
（2）视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取4名学生，记其中上课睡觉的人数为X，求X²的期望．

在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式、认知模式与思维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考．某地对本地群众（中老年人与年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：

	年轻人	中老年人	合计
经常电子阅读	50	35	85
经常纸质阅读	x	y	115
合计	M	N	200

设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取到的中老年人数为ξ；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取到的中老年人数为已知P(ξ=0)=

23

17

P(η=0)．
（1）求列联表中x,y,M，N的值，并判断是否有95%的把握认为阅读习惯与年龄有关；
（2）从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出10人，再从抽出的10人中用简单随机抽样的方法抽取3人，若其中经常电子阅读的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y,收集数据如下：

天数x	1	2	3	4	5	6
繁殖个数y	3	6	13	25	45	100

（1）判断

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

（

̂

a

，

̂

b

为常数）与

̂

y

=

̂

c

1e

̂

c

2x（

̂

c

1，

̂

c

2为常数，且

̂

c

1＞0，

̂

c

2≠0）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）对于非线性回归方程

̂

y

=

̂

c

1e

̂

c

2x（

̂

c

1，

̂

c

2为常数，且

̂

c

1＞0，

̂

c

2≠0），令z=lny,可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，

x	y	z	6 i=1 (xi- x )2	6 i=1 (xi- x )(yi- y )	6 i=1 (xi- x )(zi- z )
3.50	32	2.85	17.5	307	12.12

（ⅰ）证明：对于非线性回归方程

̂

y

=

̂

c

1e

̂

c

2x，令z=lny,可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即

̂

z

=

̂

β

x+

̂

α

，

̂

β

，

̂

α

为常数）；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），⋯，（u_n，v_n）其回归直线方程

̂

v

=

̂

β

u+

̂

α

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

β

=

n i=1 uivi-n u v

n i=1 u 2 i -n u 2

，

̂

α

=

v

-

̂

β

u

．

某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量y（单位：百万盒）与单价x（单位：元/盒）的如下数据：

x	6	6.2	6.4	6.6	6.8
y	50	45	45	40	35

（1）根据以上数据，求y关于x的经验回归方程；
（2）在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量η，求η的分布列和均值．
参考公式：回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

，其中

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(y1- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
参考数据：

5

i=1

xiyi=1369，

5

i=1

x

2 i

=205.2．

如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，AB⊥BC，平面ABC⊥平面ABB'A'，AB=BC=BB'=2，

BB′

在直线AB上的投影向量为

1

2

BA

．
（1）证明：BC⊥CC'．
（2）求二面角B'-AC-B的余弦值．

2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩非/陈字和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金，已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为p（0＜p＜1），黄政/孙艺赢的概率为1-p,且每场比赛相互独立．
（1）若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率f（p）；
（2）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
（3）若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设p=

1

2

，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列．

某学校为研究高三学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校400名高三学生（其中女生220名）平均每天体育锻炼时间进行调查，得到如表：

平均每天锻炼时间（分钟）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60]
人数	40	72	88	100	80	20

将日平均体育锻炼时间在40分钟以上的学生称为“锻炼达标生”，调查知女生有40人为“锻炼达标生”．
（1）完成下面2×2列联表，试问：能否有99.9%以上的把握认为“锻炼达标生”与性别有关？

	锻炼达标生	锻炼不达标	合计
男
女
合计			400

附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥K0）	0.100	0.050	0.010	0.001
K0	2.706	3.841	6.635	10.828

（2）在“锻炼达标生”中用分层抽样方法抽取10人进行体育锻炼体会交流，再从这10人中选2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．