如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为等边三角形，M为PA的中点，PD⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：平面MCD⊥平面PAB；
（2）若AD∥BC，AD=2BC，CD=2AB，求平面MCD与平面PBC夹角的余弦值．

为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1～4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
报名人员数x/千人	3.5	5	6.5	7
录用人才数y/千人	0.2	0.33	0.4	0.47

（1）求出y关于x的经验回归方程；
（2）假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴．
（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；
（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为p,3p-1．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求p的取值范围．
附：经验回归方程

̂

y

=

̂

a

+

̂

b

x中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

；

4

i=1

x

2 i

=128.5，

4

i=1

xiyi=8.24．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=AD=2，AB=4，M，N分别是线段AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为

1

3

？若存在，求出

CQ

CD

的值；若不存在，请说明理由．

学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．
（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
（2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积-2分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为

3

5

，乙赢概率为

2

5

，比赛共进行二轮．
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值．

技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率等试验，每个试验组3个坑，每个坑种2粒种子．经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为

3

4

．
（1）求每粒种子发芽的概率p；
（2）若一个坑内至少有一粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．取出一个试验组，对每个不发芽的坑补种1粒种子．设本试验组种植种子数为Y，求Y的平均数．

某地A，B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如表（单位：十台）：

	A商场	B商场	C商场	D商场
购讲该型冰箱数x	3	4	5	6
销售该型冰箱数y	2.5	3	4	4.5

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
（2）假设每台冰箱的售价均定为4000元．若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的概率分别为p,2p-1(

1

2

＜p＜1)，且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000元，求p的取值范围．
参考公式：回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=

2

，AB⊥BC，E，F分别为BB₁，CA₁的中点，且EF⊥平面AA₁C₁C．
（1）求AB的长；
（2）若AA1=

2

，求二面角C-A₁E-A的余弦值．

相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图．

若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有

5

6

是“年轻人”．
（1）现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？

	年轻人	非年轻人	合计
健身达人
健身爱好者
合计

附：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（2）将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

如图1，在直角梯形BCDE中，BC∥DE，BC⊥CD，A为DE的中点，且DE=2BC=4，BE=2

2

，将△ABE沿AB折起，使得点E到达P处（P与D不重合），记PD的中点为M，如图2．

（1）在折叠过程中，PB是否始终与平面ACM平行？请说明理由；
（2）当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求CD与平面ACM所成角的正弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，CD=2AB=2

2

，AD=BC=1，PA=PB=2．
（Ⅰ）若平面PBC⊥平面PAD，求点P到平面ABCQ的距离；
（Ⅱ）若平面PBC∩平面PAD=l,l∩平面ABCD=Q，且PQ=

2

，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值．