过抛物线C：y²=4x的焦点作直线l,l交C于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为2，则|MN|=（　　）

已知函数f（x）=ax-bsinx-e^x（a,b∈R）．
（1）当b=0时，讨论f（x）的单调性；
（2）若g(x)=

1

6

x3-ex，求证：当a=b=1时，对∀x∈（0，+∞），恒有f（x）＜g（x）．

已知函数f（x）=e^x-1+ax²+1的图像与直线l：x+by+c=0相切于点T（1，f（1））．
（1）求函数y=f（x）的图像在点M（0，f（0））处的切线在x轴上的截距；
（2）求c与a的函数关系c=g（a）；
（3）当a为函数g（a）的零点时，若对任意x∈[-1，2]，不等式f（x）-kx≥0恒成立．求实数k的最值．

设函数f（x）=x²+2x-a（lnx+x）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=c（c∈R）有两个不相等的实数根x₁，x₂，证明：f′(

x1+x2

2

)＞0．

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，其左焦点为F₁（-2，0）．
（1）求Γ的方程；
（2）如图，过Γ的上顶点P作动圆F₁的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F₁使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F₁的半径；若不存在，请说明理由．

已知a＞0，函数f（x）=x²-3alnx,g（x）=2ax-alnx.
（1）若f（x）和g（x）的最小值相等，求a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）恰有一个实根，求a的值．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点F为(-

7

，0)，过椭圆左顶点和上顶点的直线的斜率为

3

4

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若N（t,6）为平面上一点，C，D分别为椭圆的上、下顶点，直线NC，ND与椭圆的另一个交点分别为P，Q．试判断点F到直线PQ的距离是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A、F分别为Γ的左顶点和右焦点，O为坐标原点，以OA为直径的圆与Γ交于M点（第二象限），|OM|=

a

2

．
（1）求椭圆Γ的离心率e；
（2）若b=2，直线l∥AM，l交Γ于P、Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k₁，k₂．
（ⅰ）若l过F，求k_1•k₂的值；
（ⅱ）若l不过原点，求S_△OPQ的最大值．

已知函数f(x)=ex-

ax2

2

，a＞0．
（1）讨论f（x）的极值点个数；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，当e＜a＜

e2

2

时，证明：f(x1)+2f(x2)＜

3e

2

．

已知用周长为36的矩形截某圆锥得到椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，C与矩形的四边都相切且焦距为2c,_____．
①a,b,c为等差数列；②a+1，c,

3

8

b为等比数列．
（1）在①②中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）（1）中所求C的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作直线与椭圆C交于P，Q两点，A为椭圆的右顶点，直线AP，AQ分别交直线x=-

25

3

于M，N两点，求以MN为直径的圆是否过定点，若是求出该定点；若不是请说明理由．