如图，在四棱锥C-ABED中，AB=AC=2DE=2，∠BAC=60°，AD⊥平面ABC，DE∥AB，三棱锥E-BCD的体积为

3

3

．
（1）求AD的长度；
（2）已知F是线段BC上的动点，问是否存在点F，使得平面BED与平面EDF夹角的余弦值为

4 19

19

？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
（1）求线段AC₁的长；
（2）若

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

，用空间向量的一组基底{

a

+

b

，

a

-

b

，

c

}表示向量

A1B

．

某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：

款式/专卖店	甲	乙	丙	丁	戊
男装	60	60	130	80	110
女装	120	90	130	60	50

（1）若分别从甲、乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；
（2）现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用X表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2，AB=AD=DC=1，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点A′的位置，连接A′C．

（1）若点E在线段BC上，使得A′E⊥BD，试确定E的位置，并说明理由；
（2）当A′C=

2

时，求平面A′BC与平面BCD夹角的余弦值．

已知空间三点A（-1，0，2），B（0，1，2），C（-3，0，4），设

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（Ⅰ）求

a

与

b

的夹角θ的余弦值；
（Ⅱ）若向量k

a

+

b

与

a

-k

b

互相垂直，求k的值．

如图，直角梯形ABCD中，CD=2AB=2BC，AB⊥BC，AB∥CD，点E为CD的中点，△ADE沿着AE翻折至△APE，点M为PC的中点，点N在线段BC上．
（1）证明：EM⊥平面PBC；
（2）若平面PAE⊥平面ABCE，平面EMN与平面PAB的夹角为30°，求

BN

BC

的值．

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数

x

和样本方差s²（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本方差s²．
（i）利用该正态分布，求P（175.6＜Z＜224.4）；
（ii）某用户从该企业购买了200件这种产品，记X表示这200件产品中质量指标值位于区间（175.6，224.4）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：

150

≈12.2．若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9545．

为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，
（1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间[50，100]上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3：0，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是

3

4

，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是

2

3

，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响
（ⅰ）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数量，求X的分布列及数学期望；
（ⅱ）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率．

下列说法错误的是（　　）

下列判断正确的是（　　）