如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为2

3

，等边三角形ABC的面积为

3

．D为A₁C₁中点，E为BD中点，F为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面B₁DF与平面BDF夹角的余弦值．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁为正方形，∠CAB=90°，AC=AB=2，M，N分别为AB和BB₁的中点，D为棱AC上的点．
（1）证明：A₁M⊥DN；
（2）是否存在点D，使得平面C₁DN与平面ABB₁A₁夹角的余弦值为

5

3

？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段AD的长．

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3，BC-CD=PD=2，∠PDC=120°，PD与平面ABCD所成角的大小为60°，点Q为线段PB上一点．
（Ⅰ）若CQ∥平面PAD，求

PQ

PB

的值；
（Ⅱ）若四面体QABC的体积为

2 3

3

，求直线AB与平面AQC所成角的大小．

第二十二届卡塔尔世界杯足球赛（FIFAWorldCupQatar2022）决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队．某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团．足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		40
女生	30
合计

（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为

2

3

，女生进球的概率为

1

2

，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将△ACD折至△APD的位置，使得PB⊥AB．
（1）证明：PB⊥平面ABD；
（2）若AD=PB=4，BD=2，求二面角B-PA-D的正弦值．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为A₁B上一点，AD⊥平面A₁BC．
（1）求证：BC⊥A₁B；
（2）若AD=

3

，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角A-A₁B-P的余弦值．

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PD，PA⊥AC．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）若PA=

3

，在棱PC上是否存在点M，使直线AM与平面PBC所成角的正弦值为

15

4

？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．

如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2CD，AD=SD，△ABS为正三角形，SC⊥BC，CB=CS，O为SB的中点．
（1）求证；OC⊥平面SAB；
（2）求二面角C-SA-D的余弦值．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；

如图①，在△ABC中，B=90°，AB=4，BC=2，D，E分别是边AB，AC的中点，现将△ADE沿着DE折起，使点A到达点P的位置，并连接PB，PC，得到四棱锥P-BCED，如图②，设平面PDE∩平面PBC=l.
（1）证明：l⊥平面PBD；
（2）若点B到平面PDE的距离为

3

，求平面PEC与平面PBD夹角的余弦值．