如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图：
（1）依据折线图计算x,y的相关系数r,并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量．
相关系数：r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，参考数据：

5

i=1

（x_i-

x

）（y_i-

y

）=19．
回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中，

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

如图，圆锥SO的轴截面SAB是边长为4的等边三角形，过OB中点N作弦CD⊥OB，过CD作平面CDM∥SA，交SB于M，已知此平面与圆锥侧面的交线是以M为顶点的抛物线的一部分，则

MC

•

MD

=__________．

如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足

ON

=2

NM

，点P满足

AP

=

3

4

AN

．
（1）用向量

OA

，

OB

，

OC

表示

OP

；
（2）求|

OP

|．

如图，在四棱锥P-ABCD中，△APD是正三角形，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB=AD=2，CD=3，E是AD的中点，PB⊥BC．
（1）证明：PE⊥平面ABCD；
（2）求平面APB与平面PBC的夹角的余弦值．

如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAB⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，SA=AB=BC=2，SB=2

2

，AD=1．
（1）证明：SA⊥DC；
（2）求平面SAD与平面SBC夹角的大小．

图甲，在矩形ABCD中，AB=2AD=2

2

，E为线段DC的中点，将△ADE沿直线AE折起，使得平面ADE平面ABCE．如图乙．
（1）求证：BE⊥平面ADE；
（2）线段AB上是否存在一点H，使得二面角A-EH-D的余弦值为

2

3

？若存在，请确定H点的位置，若不存在，说明理由．

原定于2022年9月在杭州举行的亚运会延期至2023年的9月，据调查此次亚运会已签约145家赞助企业，亚运会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式，为了解其中在浙江地区的50家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对50家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有30家，销售额不足50万元的企业有25家，统计后得到如下2×2列联表：

	销售额不少于50万元	销售额不足50万元	合计
线上销售时间不少于8小时	17		30
线上销售时间不足8小时
合计			50

（1）请完成上面的2×2列联表，并依据α=0.05的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
（2）（i）按销售额进行分层随机抽样，在线上销售时间不足8小时的赞助企业中抽取5家，求销售额不少于50万元和销售额不足50万元的企业数；
（ii）从销售额不少于50万元的企业抽取2家时，设抽到每天线上销售时间不足8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值．
附：

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
χα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

参考公式：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的菱形，AB=BC=

13

，点D为棱AC上一动点（不与A，C重合），平面B₁BD与棱A₁C₁交于点E．
（1）求证：BB₁∥DE；
（2）若

AD

AC

=

3

4

，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求直线AB与平面B₁BDE所成角的正弦值．条件①平面ABC⊥平面AA₁C₁C；条件②∠A₁AC=60°；条件③A₁B=

21

．
注：若选择多种组合解答，则按第一个解答计分．

如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
（1）证明：l⊥平面PAC；
（2）直线l上是否存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成的角的正弦值为

5

5

？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是菱形，∠A₁AC=60°，AA₁=2，AC⊥A₁B．
（1）求证：BA=BC；
（2）已知AB=

2

，A₁B=2，求直线A₁B与平面A₁B₁C所成角的正弦值．