设x∈R，写出“x＞1”的一个充分条件 __________．

已知“x＞1”是 __________的充分不必要条件．（请在横线处填上满足要求的一个不等式．答案不唯一）

“∃x＞0，使得a≤

x

x2+x+4

成立”的一个充分不必要条件可以是 __________.（写出满足题意的一个即可）

命题“∀x∈R，x²＞0”的否定是 __________．

若“x=0”是“x＜m”的充分条件，则实数m的取值范围是 __________．

如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，AB=AD，∠BAD=60°．
（1）记圆柱的体积为V₁，四棱柱P-ABCD的体积为V₂，求

V1

V2

；
（2）设点F在线段AP上，PA=4PF，PC=4CE，求二面角F-CD-P的余弦值．

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N、E、F分别是AA₁、AB、C₁D₁的中点，侧面DCC₁D₁⊥平面ABCD，∠ABB₁=60°，AD=4，AB=DD₁=8，∠BAD=120°．
（1）求证：NF∥平面C₁CE；
（2）试求二面角B-NF-C的余弦值．

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=

π

2

，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD=PD=2QA=2．
（1）求证：QB∥平面PDC；
（2）求二面角C-PB-Q的正弦值；
（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成的夹角为θ，求cosθ的取值范围．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求直线CC₁与平面A₁BD所成角的正弦值；
（2）求平面A₁BD与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正弦值．

2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：

	喜欢雪上运动	不喜欢雪上运动	合计
男生	80	40
女生	30	50
合计

（1）完成2×2列联表，依据小概率值α=0.01的χ²独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？
（2）（ⅰ）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1名喜欢雪上运动的女生”．试计算P（A）•P（B|A）•P（C|AB）和P（ABC）的值，并比较它们的大小．
（ⅱ）（ⅰ）中P（ABC）与P（A）•P（B|A）•P（C|AB）的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．
参考公式及数据χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

α	0.10	0.05	0.010	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	10.828