某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行生产．生产该款芯片有三道工序，这三道工序互不影响．已知批次甲的三道工序次品率分别为

1

50

，

1

49

，

1

48

．
（1）求批次甲芯片的次品率；
（2）该企业改进生产工艺后，生产了批次乙的芯片．某手机厂商获得批次甲与批次乙的芯片，并在某款手机上使用．现对使用这款手机的100名用户回访，对开机速度进行调查．据统计，安装批次甲的有40名，其中对开机速度满意的有30名；安装批次乙的有60名，其中对开机速度满意的有55名．试整理出2×2列联表（单位：名），并依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析芯片批次是否与用户对开机速度满意有关．

批次	是否满意		合计
	满意	不满意
甲
乙
合计

附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

α	0.05	0.01	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	7.879	10.828

甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相线独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5．记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y．
（1）若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
（2）求X的分布列；
（3）求Y的均值．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=2，D、E、F分别是棱A₁B₁、CC₁、BC的中点．
（1）求证：DF∥平面A₁ACC₁；
（2）若AE⊥A₁B₁，求平面DEF与平面ABC的夹角的余弦值．

如图，在三棱台ABC-DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，AC⊥BC，BE=EF=FC=1，BC=AC=2．
（1）证明：AD⊥BF；
（2）求二面角D-AB-F的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为CD，PB的中点，AD=PD=2，AB=4．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）在线段AP上求点M，使得平面MEF与平面AEF夹角的余弦值为

3

3

．

2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩．为考察某队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的100场比赛进行统计：甲在前锋位置出场20次，其中球队获胜14次；中锋位置出场30次，其中球队获胜21次；后卫位置出场50次，其中球队获胜40次．用该样本的频率估计概率，则：
（1）甲参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
（2）现有小组赛制如下：小组共6支球队，进行单循环比赛，即任意两支队伍均有比赛，规定至少3场获胜才可晋级．教练决定每场比赛均派甲上场，已知甲所在球队顺利晋级，记其获胜的场数为X，求X的分布列和数学期望．

如图，△ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形，平面ACD⊥平面BCD，EB⊥平面BCD．
（1）证明：EB∥平面ACD；
（2）若点E到平面ABC的距离为

5

，求平面ECD与平面BCD夹角的正切值．

如图，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，FA⊥AC，AB=

2

，EF=FA=1．
（1）求证：BE⊥平面DEF；
（2）求直线BD与平面BEF所成角的大小．

已知(

x

+

1

2 3 x

)n的展开式中，第一项与第三项的系数和是第二项系数的2倍，求：
（1）展开式中系数最大的项；
（2）展开式中所有有理项．

2022年9月2日第十三届全国人民代表大会常务委员会第三十六次会议通过（中华人民共和国反电信网络诈骗法》，某高校为了提高学生防电信网络诈骗的法律意识，举办了专项知识竞赛，从竞赛成绩中随机抽取了100人的成绩，成绩数据如下表：

成绩/性别	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
女生	8	10	16	6
男生	7	15	25	13

若学生的测试成绩大于等于80分，则“防电信诈骗意识强”，否则为“防电信诈骗意识弱”．
（1）用100人样本的频率估计概率，求从该校任选5人，恰有2人防骗意识强的概率；
（2）根据上表数据，完成2×2列联表，根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析“防电信诈骗意识强弱”是否有性别差异．

	男生	女生	合计
防诈骗意识强
防诈骗意识弱
合计

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
kα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828