已知二次函数f（x）满足f（x）=f（2-x），且f（1）=6，f（3）=2．
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m，使得在[-1，3]上f（x）的图象恒在直线y=2mx+1的上方？若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．

已知f（x）=-4x²+4ax-4a-a²．
（1）当a=1，x∈[1，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]内有最大值-5，求a的值．

某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-

12

x+3

（其中0≤x≤a，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为(5+

20

t

)万元/万件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

如图，已知抛物线x²=y，过直线l：y=-

1

4

上任一点M作抛物线的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（I）求证：MA⊥MB；
（II）求△MAB面积的最小值．

阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x²-

1

x2

的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．
阅读材料：
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．
对于函数y=

1

x

，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：
（1）在函数y=

1

x

中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．
（2）在函数y=

1

x

中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；
（3）在函数y=

1

x

中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（-∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；
（4）由函数y=

1

x

可知f（-x）=-f（x），即y=

1

x

是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．
结合以上性质，逐步才想出函数y=

1

x

对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={1}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

已知函数f（x）=x²-（a+1）x+b
（1）若b=-1，函数y=f（x）在x∈[2，3]上有一个零点，求a的取值范围
（2）若a=b，且∀a∈[2，3]都有f（x）＜0成立，求x的取值范围．

已知函数f（x）=x²-2|x|-3．
（1）作出函数f（x）的大致图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[-2，4]上的最大值与最小值．

已知二次函数f（x）=ax²+bx+5（x∈R）满足以下要求：
①函数f（x）的值域为[1，+∞）；
②f（-2+x）=f（-2-x）对x∈R恒成立．求：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设M（x）=

f(lnx)

lnx+1

，求x∈[e，e²]时M（x）的值域．