已知函数f（x）=x²-2ax+1-a²．
（1）若f（x）=0有两个根x₁、x₂，且|x₁-x₂|=2，求a的值；
（2）若命题“∃x∈R，f（x）≤-7”为假命题，求a的取值范围．

命题“∃x＞1，x²＞1”的否定为__________．

某市工业部门计划对所辖中小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：

	支持	不支持	合计
中型企业	60	20	80
小型企业	180	140	320
合计	240	160	400

（1）依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关；
（2）从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设X为所发奖励的总金额（单位：万元），求X的分布列和均值．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

α	0.01	0.005	0.001
χα	6.635	7.879	10.828

如图，在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁=2，∠ABC=120°，点E满足

AE

=λ

AC

，λ∈（0，1）．
（1）当λ=

1

2

时，求A₁C与B₁E所成角的余弦值；
（2）是否存在实数λ使得平面B₁C₁E与平面BB₁C₁C的夹角为30°．

2022年10月1日，某超市举行“迎国庆促销抽奖活动”，所有购物的顾客，以收银台机打发票为准，尾数为偶数（尾数中的奇偶数随机出现）的顾客，可以获得三次抽奖，三次抽奖获得奖品的概率分别为

1

2

，

1

3

，

1

4

，每次中奖都可以获得一份奖品，且每次抽奖是否中奖互不影响．
（1）求每位顾客获得两个奖品的概率；
（2）若3位购物的顾客，没有获奖的人数记为X，求X的分布列与数学期望．

利用生物活体或其代谢产物针对农业有害生物进行杀灭或抑制的生物农药，以其对人畜安全，对生态环境影响小等优势，在病虫害综合防治中的地位和作用显得愈来愈重要．江南大学一团队成功研发出性能优良的桉树精，填补了全球生物农药在极端环境下起效的技术空白．为了研究猕猴桃树使用该农药后某项指标值的相关性，研究人员从猕猴桃种植区一万多棵树中，随机抽取了120棵用药果树和80棵未用药果树，对这200棵果树某项指标值进行测量后，按[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）分组，得到该项指标值频率分布直方图．并发现用药果树中该项指标值不小于60的有80棵．
（1）填写下面的2×2列联表，判断是否有95%的把握认为“果树用药与指标值不小于60有关”；

	指标值小于60	指标值不小于60	合计
用药果树
没用药果树
合计

（2）用药后果树中该项指标值不小于60认为农药对猕猴桃细菌性溃疡病有效，以用药的120棵树对溃疡病有效的频率做为果树用药后有效的概率．若从猕猴桃种植区所有用药果树中随机抽取4棵，求所抽四棵树中用药后有效果树棵数X的分布列及期望．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

如图①，已知矩形ABCD的长为4，宽为

3

，点M是边AB上的点，且3AM=MB．如图②，将△AMD沿MD折起到△A'MD的位置，使得平面A'MD⊥平面BMDC，平面A'MB∩平面A'CD=l.

（1）求证：l∥平面BMDC；
（2）在线段DC（不包含端点）上是否存在一点P，使得平面A'MP与平面A'MC的夹角的余弦值为

2 5

5

？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，且AA1=AB=AC=2，BC=2

2

，M、N、P、D分别是CC₁、BC、A₁B₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：AC∥平面PDN；
（2）求平面PMN与平面ABC夹角的余弦值；
（3）点Q在线段A₁B₁上，若直线AM与平面QMN所成角的余弦值为

70

10

时，求线段A₁Q的长．

{

a

，

b

，

c

}是空间的一组基底，则可以与向量

p

=

a

+

b

，

q

=

a

+2

b

构成基底的向量（　　）

在以下命题中：
①三个非零向量

a

，

b

，

c

不能构成空间的一个基底，则

a

，

b

，

c

共面；
②若两个非零向量

a

，

b

与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则

a

，

b

共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若

OP

=2

OA

-

2OB

-

2OC

，则P，A，B，C四点共面；
④若

a

，

b

是两个不共线的向量，且

c

=λ

a

+μ

b

(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则{

a

，

b

，

c

}构成空间的一个基底；
⑤若{

a

，

b

，

c

}为空间的一个基底，则{

a

+

b

，

b

+

c

+2

a

，

c

+

a

}构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（　　）