在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁为正方形，平面BCC₁B₁⊥平面ABB₁A₁，AB=BC=2，M，N分别为A₁B₁，AC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM=MN．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

	不够良好	良好
病例组	40	60
对照组	10	90

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，

P(B|A)

P( B |A)

与

P(B| A )

P( B | A )

的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：R=

P(A|B)

P( A |B)

•

P( A | B )

P(A| B )

；
（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|

B

）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m²）和材积量（单位：m³），得到如下数据：

样本号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积xi	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量yi	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得

10

i=1

x_i²=0.038，

10

i=1

y_i²=1.6158，

10

i=1

x_iy_i=0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m²．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

，

1.896

≈1.377．

如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O₁，AA₁为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若AA₁=4，M为AA₁的中点，求直线MO₁与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过OO₁的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱BC，CD的中点．
（1）求证：D₁F∥平面A₁EC₁；
（2）求直线AC₁与平面A₁EC₁所成角的正弦值；
（3）求二面角A-A₁C₁-E的正弦值．

学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参见比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同事参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

某校随机抽出30名女教师和20名男教师参加学校组织的“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利75周年”知识竞赛（满分100分），成绩统计如表：
女教师成绩分布表

成绩分组	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	5	2	3	m	8

男教师成绩分布表

成绩分组	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	1	3	10	n	2

（1）试估计所有老师成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若分数为80分及以上为优秀，低于80分为非优秀，请完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为这次竞赛成绩优秀与性别有关？

	女教师	男教师	总计
优秀
非优秀
总计

附K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

某市环保部门为了让全市居民认识到冬天烧煤取暖对空气AQI数值的影响，进而唤醒全市人民的环保节能意识．对该市取暖季烧煤天数x与空气AQI数值不合格的天数y进行统计分析，得出表数据：

x（天）	9	8	7	5	4
y（天）	7	6	5	3	2

（1）以统计数据为依据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（2）根据（1）求出的线性回归方程，预测该市烧煤取暖的天数为20时空气AQI数值不合格的天数．
参考公式：b=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

，a=

y

-b

x

．