如图1．在等边三角形ABC中，边长为4．D是AC的中点，E是AB上一点，且DE⊥AB．将△ADE沿着DE折起，形成四棱锥P-BCDE．其中点A对应的点为点P．如图2．
（1）在图2中．在线段PB上是否存在一点F，使得CF∥平面PDE？若存在，请求出

PF

PB

的值，并说明理由；若不存在，请说明理由；
（2）在图2中．二面角P-DE-B为直二面角，求平面PBE与平面PCD所成的锐二面角的正弦值．

第22届世界杯于2022年11月21日举办，在决赛中，阿根廷队通过点球战胜发过队获得冠军．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有

2

3

的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p_n，易知p₁=1，p₂=0．
①试证明{Pn-

1

3

}为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q_n，比较p₁₀与q₁₀的大小．

一个随机变量ζ的概率分布为：

x1x2 cos2Asin(B+C)

，其中A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角．
（1）求A的值；
（2）若x₁=cosB，x₂=sinC，求数学期望E（ζ）的取值范围．

随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见表），且视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值．

等级	A	B
询单转化率	[70%，90%）	[50%，70%）
人数	6	4

（1）求该网店询单转化率的平均值；
（2）现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
（3）已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人．在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a,被任一位B等级客服接待的概率为b,若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？

如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BB₁，D₁C₁的中点．
（1）证明：平面AEC⊥平面BDD₁B₁；
（2）求平面AEF与平面AEC所成锐二面角的余弦值．

某医院用a,b两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：

	未治愈	治愈	合计
疗法a	15	52	67
疗法b	6	63	69
合计	21	115	136

（1）根据小概率值α=0.005的独立性检验，分析b种疗法的效果是否比a种疗法效果好；
（2）为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担．该医院对于a,b两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组用甲方案，B组用乙方案．一个疗程后，A组中每人康复的概率都为

14

15

，B组3人康复的概率分别为

19

20

，

9

10

，

9

10

．若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？
参考公式及数据：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

α	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
xα	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(15×6-52×63)2

67×69×21×115

=0.9092，

(15×63-52×6)2

67×69×21×115

=0.0359，

(15×52-6×63)2

67×69×21×115

=0.0145

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2AD=2，点M，N分别为棱PB，DC的中点．
（1）求证：AM∥平面PCD；
（2）求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．

疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：

日销量（单位：百份）	12	13	14	15
天数	3	9	12	6

（1）记两天中销售该款新套餐的总份数为X（单位：百份），求X的分布列和数学期望；
（2）以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份、28百份两种方案中应选择哪种？

2022年某省社科院发布了本年度“城市居民幸福指数排行榜”，某市成为了本年度城市居民最“幸福城”，随后，某机构组织人员进行社会调查，用“10分制”随机调查“明月”社区人们的幸福指数．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．若幸福指数不低于9.0分，则称该人的幸福度为“超级幸福”．
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“超级幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选4人，记ξ表示抽到“超级幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．

四面体ABCD中，AB=AC=BC=CD=2，二面角A-BC-D的大小为60°，则四面体ABCD外接球体积的最小值为 __________．