若一组数据a₁，a₂，a₃，…，a_n的方差为4，则3a₁-1，3a₂-1，3a₃-1，…，3a_n-1的标准差为 __________．

已知一组数x₁，x₂，x₃，x₄的平均数为4，则另一组数2x₁，2x₂，2x₃，2x₄的平均数为 __________．

在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA1=AB=AC=

1

2

A1C1=2，VB1-A1CC1=

16

3

．
（1）证明：CC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）求二面角C-B₁C₁-A的余弦值．

四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA=2，AB=1，AD=2．
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求直线CP与平面ACE所成角的正弦值．

在四棱锥S-ABCD中，侧面SAD⊥底面ABCD，SA⊥AD，且四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=2，∠ABC=

π

3

，SA=3．
（1）求二面角S-CD-A的大小；
（2）点P在线段SD上且满足

SP

=λ

SD

，试确定λ的值，使得直线BP与面PCD所成角最大．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AA₁C₁C为菱形，点A₁在底面上的投影为AC的中点D，且AB=2．
（1）若M、N分别为棱AB、B₁C₁的中点，求证：B₁M∥平面CDN；
（2）求点C到侧面AA₁B₁B的距离；
（3）在线段A₁B₁上是否存在点E，使得直线DE与侧面AA₁B₁B所成角的正弦值为

6

7

？若存在，请求出A₁E的长；若不存在，请说明理由．

为做好某次考试的评价工作，现将该次考试的成绩转化为百分制，从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的0.004中位数；
（2）在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90）的人数，求ξ的分布列和数学期望．

如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．
（1）求证：AF⊥PC；
（2）求二面角D-PC-E的大小．
（3）在棱PE上是否存在点M，使得直线DM与平面PCE所成角的正弦值为

6

9

？若存在，求PM的长；若不存在，请说明理由．

如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码1—7分别对应年份2016—2022．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：

7

i=1

yi=9.32，

7

i=1

tiyi=40.17，

7 i=1 (yi- y )2

=0.55，

7

≈2.646．
参考公式：相关系数r=

n i=1 (ti- t )(yi- y )

n i=1 (ti- t )2 n i=1 (yi- y )2

，
回归方程

̂

y

=

̂

a

+

̂

b

t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为

̂

b

=

n i=1 (ti- t )(yi- y )

n i=1 (ti- t )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

t

．

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M为BC的中点．
（1）证明：AM⊥PM；
（2）求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；
（3）求点D到平面AMP的距离．