如图，在三棱台ABC-DEF中，已知平面ABED⊥平面BCFE，BA⊥BC，BC=3，BE=DE=DA=

1

2

AB=1．
（1）求证：直线AE⊥平面BCFE；
（2）求平面CDF与平面AEF所成角的正弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是等边三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小；
（3）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为

π

3

，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由．

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，三棱锥A₁-AB₁C的体积为

2 3

3

，△AB₁C的面积为4，AB=2A₁B₁，且A₁A⊥平面ABC．
（1）求点B到平面AB₁C的距离；
（2）若BB₁=BA，且平面AB₁C⊥平面ABB₁A₁，求二面角A-B₁C-A₁的余弦值．

如图，等腰梯形ABCD中，BC=CD=DA=

1

2

AB，点M是AB的中点，将△BCM沿着CM翻折到△PCM，使得平面PCM⊥平面AMCD，E、F分别为CM、PA的中点．

（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求二面角E-PA-D的余弦值．

《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲．此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己．画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形A_nB_nC_nD_n，n=1，2，3的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为P_n，Q_n，将极点P₁，Q₁，分别与正方形A₂B₂C₂D₂的顶点连线，取其中点记为E_m，F_m，m=1，2，3，4，如（图3）．埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥A₁-P₁E₁P₂E₂与A₂-P₂E₁P₃F₁
（1）求异面直线P₁A₂与Q₁B₂成角余弦值；
（2）求平面P₁A₁E₁与平面A₁E₂P₂的夹角正弦值；
（3）求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）．

在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形，AD∥BC，AD=2BC=2，AB=

3

，∠ABC=90°，△ADE是等边三角形．现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得四棱锥E-ABCD（如图2）且EC=

6

．

（1）求证：平面EAD⊥平面ABCD；
（2）在棱EB上有点F，满足

EF

EB

=

1

3

，求二面角E-AD-F的余弦值．

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P、Q分别为BD、CD₁的中点．
（1）证明：PQ∥平面BCC₁B₁；
（2）求直线CD₁与平面ABC₁D₁所成角的大小．

甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为

2

3

，乙获胜的概率为

1

3

，各局比赛结果相互独立．
（1）求乙只赢1局且甲赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．

甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个项目，每个项目胜方得100分，负方得0分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，各项目比赛互不影响．
（1）求乙获得冠军的概率；
（2）用X表示甲校的总得分，求X的分布列与期望．

某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表．

	良好以下	良好及以上	合计
男	800		1100
女		100
合计	1200		1600

（1）将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关；
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

其中K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.