如图，在平行六面体ABCDA₁B₁C₁D₁中，设

AA

1=

a

，

AB

=

b

，

AD

=

c

，M，N，P分别是AA₁，BC，C₁D₁的中点，试用

a

，

b

，

c

表示以下各向量：
（1）

AP

；
（2）

MP

+

NC

1．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，2AB=AA₁=4，CE=EC₁，AF=3FA₁．
（1）证明：BE⊥平面B₁EF；
（2）求二面角E-BF-A的余弦值．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求异面直线A₁B与C₁D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC₁与平面A₁BA的夹角的余弦值．

一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等．某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗I期和II期临床试验．Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5mL/次剂量组（低剂量）与1mL/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：

	接种成功	接种不成功	总计（人）
0.5mL/次剂量组	28	8	36
1mL/次剂量组	33	3	36
总计（人）	61	11	72

（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？
（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X表示这2人中接种成功的人数，求X的分布列和数学期望．
参考方式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)( c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.4	0.25	0.15	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
k	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加．根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如表所示：

年份序号x	1	2	3	4	5
维修费用y（万元）	1.1	1.6	2	2.5	2.8

（1）根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
（2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车．
参考公式：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．
（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B-EN-M的余弦值

6

6

？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（1）求证：A₁C⊥B₁A₁；
（2）若平面ABC⊥平面ABB₁A₁，且AB=BC，求直线CB₁与平面A₁BC所成角的正弦值．

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，AD=2，AB=3，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P、B重合），平面ADE交棱PC于点F．
（1）求证：AD∥EF；
（2）若二面角B-AC-E的余弦值为

3 30

20

，求点B到平面AEC的距离．

为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．
（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；
（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设a=3，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望．
（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为s₀²．在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为s₁²；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为s₂²，试比较s₀²，s₁²，s₂²的大小．（结论不要求证明）

近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：

x	1	2	3	4	5	6	7
y	6	11	21	34	66	101	196

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．
（1）根据散点图判断，在推广期内，y=a+bx与y=c•d^x（c,d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2
表2：

支付方式	现金	乘车卡	扫码
比例	10%	60%	30%

已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为

1

6

，享受8折优惠的概率为

1

3

，享受9折优惠的概率为

1

2

．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．
参考数据：

y	u	7 i=1 xiyi	7 i=1 xiui	100.54
66	1.54	2.711	50.12	3.47

其中υi=lgyi，

υ

=

1

7

7

i=1

υi