84001 难度：3

已知直线l经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为2

2

，求圆C的标准方程．

84002 难度：4

已知函数f（x）=（x²-x-b）e^x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＞x₂），且

f(x2)

f(x1)

≥

3

e

，求b的取值范围．

84003 难度：4

已知函数f(x)=ax+

b

x

+c(a＞0)的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）用a表示出b,c；
（2）若f（x）-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1+

1

2

+

1

3

+⋅⋅⋅+

1

n

+

1

2(n+1)

＞

1

2

+ln(n+1)(n∈N*)．

84004 难度：3

已知动点M到点F（1，0）的距离等于它到直线x=-1的距离，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求动点M的轨迹方程C；
（2）已知A（-2，0），过点B（0，1）的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求△PAB的面积．

84005 难度：4

已知函数f(x)=xlnx+

1

e

的最小值和g（x）=ln（1+x）-ax的最大值相等．
（1）求a；
（2）证明：lnx＞e-x-

2

ex

；
（3）已知m是正整数，证明：[1+

1

2m(m+1)

]m+1＞e

1

2m+2

．

84006 难度：3

已知函数f（x）=e^x-ax²-x.
（1）当a=

1

2

时，求不等式f(

x-1

-1)＜1的解集；
（2）当a＞

1

2

时，求证f（x）在（0，+∞）上存在极值点x₀，且f(x0)＜

3-x0

2

．

84007 难度：3

如图所示，一种建筑由外部的等腰梯形PQRS、内部的抛物线以及水平的杠杆AB组成，其中PS和QR分别与抛物线相切于A，B，A，B分别是PS和QR的中点．梯形的高和CD的长度都是4米．
（1）求杠杆AB的长度；
（2）求等腰梯形的周长．

84008 难度：3

已知圆C：x²+y²+mx+ny+1=0，直线l₁：x-y=0，l₂：x-2y=0，且直线l₁和l₂均平分圆C．
（1）求圆C的标准方程；
（2）直线

3

x+y+a-2

3

=0与圆C相交于M，N两点，且∠MCN=120°，求实数a的值．

84009 难度：4

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线

x2

4

-y²=1的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1．
（1）求a,b；
（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且

PO

=2

OQ

．求证：△PMN的面积为定值．

84010 难度：3

已知圆C的圆心在直线y=x上，且圆C经过点M（-2，0）和点N(1，-

3

)．
（1）求圆C的标准方程；
（2）求经过点D（2，1）且与圆C相切的直线方程．