已知函数f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0，求f（x）的极值．

已知函数f（x）=ax³-（a+1）x²+x,g（x）=kx+m（其中a≥0，k,m∈R），若任意x∈[0，1]均有f（x）≤g（x），则称函数y=g（x）是函数y=f（x）的“控制函数”，且对所有满足条件的函数y=g（x）在x处取得的最小值记为

f

（x）．
（1）若a=2，g（x）=x,试判断函数y=g（x）是否为函数y=f（x）的“控制函数”，并说明理由；
（2）若a=0，曲线y=f（x）在x=

1

4

处的切线为直线y=h（x），证明：函数y=h（x）为函数y=f（x）的“控制函数”，并求

f

（

1

4

）的值；
（3）若曲线y=f（x）在x=x₀，x₀∈（0，1）处的切线过点（1，0），且c∈[0，1]，证明：当且仅当c=x₀或c=1时，

f

（c）=f（c）．

已知函数f（x）=ax-e^x（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g(x)=-

3

2

x2+ax-1，求证：当x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立．

已知函数f（x）=e^x和g（x）=ax-lnx,a∈R．
（1）求y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若当x∈（1，+∞）时，g（x）＜xlnx+a恒成立，求a的取值范围；
（3）若h（x）=f（x）-ax与y=g（x）有相同的最小值．
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）证明：存在实数b,使得h（x）=b和g（x）=b共有三个不同的根x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），且x₁，x₂，x₃依次成等差数列．

已知函数f（x）=e^x+mx³+nx²-x-1（其中e为自然对数的底数），且曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=ex.
（1）求实数m,n的值；
（2）证明：对任意的x∈R，有f（x）+ex³-2ex²≥0．

已知函数f（x）=x-lnx.
（1）当x≥1时，证明：f（x）≥

1

x

；
（2）若f（x）+ae^2x+lna≥0，求a的取值范围．

已知函数f(x)=

x+ln(x-1)

x-1

．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）记g（x）=（x+1）f（x+2）+x²-（a-1）x+1，a∈R．若函数g（x）既有极大值，又有极小值，求a的取值范围．

已知函数f(x)=ae-x+

lnx

x

．
（1）若x=1是f（x）的极值点，求a；
（2）若x₀，x₁分别是f（x）的零点和极值点，当a＞0时，证明：lnx1＜

x

2 0

-x0+1．

已知函数f(x)=eax-

1

2

ax2-x-1．
（1）当a≥1时，证明：对任意的x≥0，都有f（x）≥0；
（2）证明：

n

k=1

1

k

＞2ln(n+1)-nln2(k∈N*，n∈N*)．

已知函数f（x）=alnx-bx,其中a,b∈R．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若b=1，函数f（x）有两个相异的零点x₁，x₂，求证：x₁x₂＞e²．