古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积．已知椭圆Γ的中心为原点O，焦点F₁，F₂均在x轴上，离心率等于

4

5

，面积为15π．
（1）求Γ的标准方程；
（2）若直线l与圆M：x²+y²=16相切，且直线l与Γ交于C，D两点，求△COD面积的最大值．

如图，某市决定在夹角为∠BEF=45°的两条笔直道路边沿EB，EF之间建造一个不影响道路的半椭圆形状主题公园．已知点A在线段EB上，O为AB的中点，|OE|=3千米，椭圆的短轴长|AB|=2千米，OD为椭圆的长半轴．同时，在半椭圆形区域内再建造一个△OMN游乐园，其中点M，N在半椭圆上，MN交OD于点G，且∠MGD=45°．
（1）求|OD|的取值范围；
（2）若△OMN游乐园面积的最大值为1平方千米，求|OG|的值．

已知椭圆C₁：

x2

18

+

y2

14

=1的左右焦点分别为F₁、F₂，双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）与C₁共焦点，点A(3，

7

)在双曲线C₂上．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）已知点P在双曲线C₂上，且∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面积．

椭圆Γ：

x2

4

+y2=1．
（1）点C是椭圆Γ上任意一点，求点C与点D（0，2）两点之间距离d的最大值和最小值；
（2）A和B分别为椭圆Γ的右顶点和上顶点．P为椭圆Γ上第三象限点．直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求(

|PM|

|MA|

)2+(

|PN|

|NB|

)2．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为

2

2

，过点B（0，-2）及左焦点F₁的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F₂．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△CDF₂的面积．

为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距20海里的A，B两个观测站，观测范围是到A，B两观测站距离之和不超过40海里的区域．
（1）以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；
（2）某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域（精确到1小时）．

求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）两个焦点坐标分别是（0，5），（0，-5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；
（2）求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，-

2

)和(-1，

14

2

)的椭圆的标准方程．

设椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的两个焦点为F₁，F₂，若点P在椭圆上，且PF₁⊥PF₂．
（1）求△F₁PF₂的面积；
（2）求P点的坐标．

已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），P为椭圆上一点，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面积．

已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）过底面中心O₁且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的底面半径；
（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的短轴长．