筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m,筒车转轮的中心O到水面的距离为2m,筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P₀时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P₀运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数）．
（1）求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；
（2）求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：s）．

一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P₀）开始计算时间．
（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？
（3）记f（t）=h,求证：不论t为何值，f（t）+f（t+1）+f（t+2）是定值．

已知向量

a

=（

3

sinωx,cosωx），

b

=（cosωx,cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=

a

•

b

，若f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）当0＜x≤

π

3

时，求f（x）的值域．

如图一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动5圈（按逆时针转动），当水轮上点P从水中浮现（图中点P₀）时开始计算时间．
（1）已知点P距离水面的高度H（m）与时间t（s）满足函数模型H=Asin(ωt+φ)+h(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)，试求H的表达式；
（2）求点P第一次到达最高点需要多长时间？

如图，公园摩天轮的半径为40米，圆心距地面的高度为50米，摩天轮做匀速转动每2分钟转一圈．某人从摩天轮的最低点处登上摩天轮并开始计时，已知经过t分钟时，此人距离地面的高度为y米，且y=f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

)．
（1）求f（t）的解析式．
（2）当离地面(50+20

3

)米以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中此人有多长时间可以看到公园的全貌？

已知某海滨浴场海浪的高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作：y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：

t（时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

经长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象．
（1）根据以上数据，求函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数解析式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）中的结论，判断一天内的10：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？

游乐场中的摩天轮沿逆时针方向匀速旋转，其中心O距离地面40.5m,半径40m（示意图如下），游客从最低点处登上摩天轮，其与地面的距离随着时间而变化，已知游客将在登上摩天轮后30分钟到达最高点，自其登上摩天轮的时刻起，
（1）求出其与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
（2）若距离地面高度超过20.5m时，为“最佳观景时间”，那么在乘坐一圈摩天轮的过程中，该游客大约有多少“最佳观景时间”？

在平面直角坐标系xOy中有两定点A、B，且AB=4，动点P满足

PA

•

PB

=λ(λ＞0)，若点P总不在以点B为圆心，1为半径的圆内，则实数λ的最小值为 __________．

若直线y=2x-1与抛物线y²=2x交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

OA

•

OB

的值为 __________．

已知

a

=（4，3），

b

=（2，-1），则＜

a

，

b

＞=__________．