如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PB⊥底面ABCD，AB=BC=3，BP=3，CF=

1

3

CP，DE=

1

3

DA．
（1）证明：平面EFA⊥平面ABP；
（2）求直线PC与平面ADF所成角的正弦值．

如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，点G为

DE

的中点，DE为半个圆柱上底面的直径，且∠BCF=90°，CD=CB=CF=2．H为BC的中点．
（1）证明：平面DEH∥平面GCF；
（2）若Q是线段HE上一动点，求直线AQ与平面GCF所成角的正弦的最大值．

在①AD=DD₁=2A₁D₁=2；②AD=2A₁D₁，且直线DB₁与平面ABCD所成角为

π

4

．这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并给予解答．
如图所示，四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面均为正方形，且DD₁⊥底面ABCD，_____．
（1）证明：AC⊥BD₁；
（2）若_____，求二面角A-BB₁-C的正弦值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（1）则直线AC₁与平面A₁EC₁所成角的正弦值为 __________．
（2）则二面角A-A₁C₁-E的正弦值为 __________．

如图，AE⊥平面ABCD，BF∥平面ADE，CF∥AE，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的余弦值．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC₁=3，点D，E分别在棱AA₁和棱CC₁上，且AD=1，CE=2，M为棱A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁M⊥B₁D；
（Ⅱ）求平面BB₁E与平面B₁ED所夹角的余弦值；
（Ⅲ）求直线AB与平面DB₁E所成角的正弦值．

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边PA的长为2

2

的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．
（1）求证：平面DFM⊥平面PBC；
（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为

3 13

13

，求锐二面角E-DM-F的余弦值．

如图，在多面体ABCDE中，平面ABC⊥平面ACDE，四边形ACDE是等腰梯形，ED∥AC，AB⊥AC，AE=ED=DC=

1

2

AC=1．
（1）若AB=1，求BD与平面ACDE所成角的正弦值；
（2）若平面BDE与平面BCD的夹角为

π

4

，求AB的长．

如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．
（1）求证：EF∥平面CPM；
（2）求平面QPM与平面CPM夹角的大小；
（3）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为

π

6

，求N到平面CPM的距离．

所有面都只由一种正多边形构成的多面体称为正多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．
（1）求新多面体的体积．
（2）求二面角A-BF-C的余弦值．
（3）求证新多面体为七面体．