已知函数g(x)=

2x+a

x2+bx+1

是定义域为[-1，1]上的奇函数．
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）判断并证明g（x）在[-1，1]上的单调性；
（Ⅲ）解不等式g（t）-g（1-t）＜0．

对于函数f（x），若其定义域内存在实数x满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知函数f（x）=x²-2x,试判断函数f（x）是否为“局部奇函数”，并说明理由；
（2）函数g（x）=2^x+a为定义在[-1，1]上的“局部奇函数”，试求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m,使得函数F（x）=4^x-m⋅2^x+1+m²-2是定义在R上的“局部奇函数”，若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

设a∈R，已知函数f(x)=

2x+a

2x-a

为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）若a＜0，判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）在（2）的条件下，函数f（x）在区间[m,n]（m＜n）上的值域是[k•2^m，k•2ⁿ]（k∈R），求k的取值范围．

已知函数f（x）=x-

a

x

，a∈R，若f（1）=-1．
（Ⅰ）求a值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并用定义给出证明；
（Ⅲ）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．

已知函数f(x)=

x

x2+1

．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明函数f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）写出函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性（结论不要求证明）．

已知函数f（x）=lg（1-x）-lg（1+x）．
（1）求f(

9

11

)的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断f（x）的单调性，并说明理由．

已知函数f（x）=ln（1-cos2x）+cos（x+θ），θ∈[0，

π

2

)．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，求θ的值；
（Ⅲ）是否存在θ，使得函数f（x）是奇函数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．

悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横䠉深涧的观光索道的电缆等等．这些现象中都有相似的曲线形态．这些曲线在数学上常常被称为悬链线．这类悬链线对应的函数表达式为f（x）=ae^x+be^-x（a,b是非零常数，无理数e=2.71828⋯）．
（Ⅰ）当a=1，b=-1时，判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a,b值；
（Ⅲ）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．

已知函数f(x)=-2×(

1

2

)|x|+2．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（Ⅱ）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出f（x）的图象，并写出该函数的值域；
（Ⅲ）写出不等式f（x）＞x的解集．

已知函数f(x)=log

1

2

(2x+1)-mx,m∈R．
（Ⅰ）当m=0时，解不等式f（x）＞-1；
（Ⅱ）若函数f（x）是偶函数，求m的值；
（Ⅲ）当m=-1时，若函数y=f（x）的图象与直线y=b有公共点，求实数b的取值范围．