德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为

1

3

的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……．经过n次操作后，共删去个__________小正方形；若要使保留下来的所有小正方形面积之和不超过

1

1000

，则至少需要操作 __________次．（lg2=0.3010，lg3=0.4771）

自华为事件以来，国内公司认识到自主创新的重要性，纷纷加大创新的投入．某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产．计划从2022年起，在今后若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的研发与生产，2021年新产品带来的收入为5百万元，并预测在今后相当长的时间内，新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%，记2021年为第1年，a_n表示第1年至第n年的累计利润（含第n年，累计利润=累计收入-累计投入），则a_n=__________千万元；根据预测该新产品从第 __________年开始盈利．
（参考数据：1.25⁸≈5.96，1.25⁹≈7.45．）

已知向量

a1

=(1，1)，

bn

=(

1

n

，0)，

an

-

an+1

=(

an

•

bn+1

)

bn+1

(n∈N*)，则

a3

•

b4

=__________，

a1 • b3

2

+

a2 • b 4

3

+⋯+

an • bn+2

n+1

=__________．

“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，f（A）表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如A={1，0}，则f（A）={0，1，0，1，0，1}．设A₁是一个有限“0，1数列”，定义A_k+1=f（A_k），k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”A₁={0，1，0}，则数列A₂₀₂₂的所有项之和为 __________．

某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2021年全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过1000万元的年份是 __________年．（参考数据：lg1.12≈0.049）

螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b₁，直角三角形EMQ面积为b₂，后续各直角三角形面积依次为b₃，…，b_n，若数列{b_n}的前n项和Sn≤λ2-3λ恒成立，则实数λ的取值范围为 __________．

如图，正方形ABCD的边长为2，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．则第4个正方形的面积是 __________；从正方形ABCD开始，连续8个正方形面积之和是 __________．

已知集合A={x|x=2n-1，n∈N^*}，B={x|x=2ⁿ，n∈N^*}，将A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{a_n}，设数列{a_n}的前n项和为S_n，则使得S_n＞1000成立的最小的n的值为 __________．

如果数列{a_n}满足：a₁=1，a₂₀₂₁=2017，且对于任意n∈N^*，存在实数a使得a_n、a_n+1是方程x²-（2a+1）x+a²+a=0的两个根，则a₁₀₀的所有可能值构成的集合是 __________．

已知i为虚数单位，则（　　）