5111 难度：3

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BCC₁B₁是正方形，D，E，F，G分别为线段AB，AA₁，CC₁，B₁C₁的中点，DE⊥CG．
（1）求证：A₁B∥平面CDE；
（2）求证：CG⊥平面A₁BF．

5112 难度：3

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱B₁C₁，C₁D₁的中点，点G在校CC₁上．
（1）证明：BD∥平面CEF；
（2）证明：AG⊥EF

5113 难度：3

如图，在四棱锥M-ABCD中，平面ABCD⊥平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且AF⊥MC．
（Ⅰ）证明：MC⊥平面ADM；
（Ⅱ）若AB=2，DM=MC，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为

2 2

3

，试确定点F的位置．

5114 难度：3

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：CM⊥平面PNB；
（2）设点E是棱PA上一点，若PC∥平面DEM，求

PE

EA

．

5115 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，BC⊥平面ABP，BC∥AD，BC=BP=1，AB=2，AD=5，∠ABP=120°．
（Ⅰ）求证AC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值．

5116 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，DC∥AB，DC=2AB，平面PCD⊥平面PAD，△PAD是正三角形，E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求证：AE∥平面PBC．

5117 难度：3

已知OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2，M为OB的中点，点N在AC上，AN=2NC．
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）若点P在线段BC上，设

BP

PC

=λ，当AP⊥MN时，求实数λ的值．

5118 难度：3

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB=2，∠BAA₁=

π

3

，D为AA₁的中点，点C在平面ABB₁A₁内的射影在线段BD上．
（1）求证：B₁D⊥平面CBD；
（2）若△CBD是正三角形，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

5119 难度：3

如图，几何体ABCDE中，四边形ABDE为直角梯形，AE∥BD，AE⊥AB，面ABDE⊥面ABC，BD=2AB=2AE=2AC=4，三棱锥A-BCE的体积为

4

3

．
（1）求证：AC⊥面ABDE；
（2）求点A到面CDE的距离．

5120 难度：3

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AB=BC=4，其体积VP-ABC=4

3

（Ⅰ）求AC长；
（Ⅱ）在线段PB上是否存在点Q，使得CQ⊥AB？若存在，请找出并给予证明；若不存在，请说明理由．