4991 难度：3

如图，多面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，AD⊥DE，AB=2，AE=3，ED=EC=

5

，EF∥DB，且EF=

1

2

DB．
（1）求证：平面ABCD⊥平面EDC；
（2）求四棱锥C-BDEF的体积．

4992 难度：3

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB=2EF，∠EAB=90°，平面ABEF⊥平面ABCD．
（1）若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED；
（2）求证：平面DAF⊥平面BAF；
（3）若AE=AD=1，AB=2，求直线AC与平面BCF成角的正弦值．

4993 难度：3

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，若AP=AB=

1

2

AD=1，AC=

3

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）计算四棱锥P-ABCD的表面积．

4994 难度：3

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2．
（Ⅰ）M为PD中点，求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面PCA；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在点E，使得平面AED⊥平面PCD？若存在，求出

PE

EC

的值；若不存在，说明理由．

4995 难度：3

如图，在三棱锥中，点E、F分别为AC、AD的中点，AD⊥CD，BA=BD．
（1）求证：EF∥平面BCD；
（2）求证：平面EFB⊥平面ABD．

4996 难度：3

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=4，∠DAB=60°，且AP⊥PD，AP=2

3

，BP=4，M为AD的中点．
（1）求证：平面BPM⊥平面APD；
（2）若点N在线段BC上，当直线PN与平面PMC所成角的正弦值为

6

8

是，求线段BN的长．

4997 难度：3

已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，且AB=2CD，将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．若M、N分别为AE、CE的中点．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）求证：平面ABE⊥平面ADE．

4998 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=

5

（1）求证：平面PDB⊥平面PAB
（2）求直线PB与平而PCD所成角的正弦值．

4999 难度：3

如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，设D是BB₁的中点，直线C₁D与棱CB的延长线交于点E．
（Ⅰ）求证：直线AE∥平面A₁CD；
（Ⅱ）若A₁C⊥C₁E，求证：侧面A₁ACC₁⊥底面ABC．

5000 难度：3

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，侧面BCC₁B₁⊥底面ABC，E，F分别为棱BC和A₁C₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABB₁A₁；
（2）求证：平面AEF⊥平面BCC₁B₁．