如图，设平面α∩β=EFAB⊥α，CD⊥α垂足分别为B，D，且AB≠CD．如果增加一个条件就能推出BD⊥EF，给出四个条件：
①AC⊥β；②AC⊥EF；
③AC与BD在β内的正投影在同一条直线上；
④AC与BD在平面β内的正投影所在的直线交于一点．
那么这个条件不可能是__________．

如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD，如图（2）．
（I）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（II）在折叠前的四边形ABCD中，作AE⊥BD于E，过E作EF⊥BC于F，求折起后的图形中∠PFE的正切值．

如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，BC=1，AE=BE=

3

，若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为__________．

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED

（1）求证：BD⊥平面POA
（2）当点O 在何位置时，PB取得最小值？
（3）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积．

如图，在四梭锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1．点M线段PD的中点．
（I）若PA=2，证明：平面ABM⊥平面PCD；
（II）设BM与平面PCD所成的角为θ，当棱锥的高变化时，求sinθ的最大值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥CD，PA=2，AB=1，BC=

3

，CD=

6

，PC与平而ABCD所成的角为45°，
（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若CM⊥PD于M，N为AD的中点，求三棱锥P-CMN的体积．

如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，MA∥PB，
（Ⅰ）求证：DM∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．

如图，在三棱锥A-BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的三等份点，DF=2FC，BE=2EC．
（1）求证：BD∥平面AEF；
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

如图，在三棱锥A-BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的中点．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，DC的中点，AD=BD=1，AB=

2

，过EF的平面与棱PB，PC分别交于点M，N．
（Ⅰ）求证：EF∥MN；
（Ⅱ）求证：平面EFNM⊥平面PBD；
（Ⅲ）若

CN

CP

=

2

3

，求四棱锥N-EBCF和四棱锥P-ABCD的体积比．