P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的__________心；
（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的__________心；
（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的__________心；
（4）若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的__________心．

如图，下列五个正方体图形中，I是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出I垂直于平面MNP的图形的序号是__________．

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中点，点F在线段AA₁上，当AF=__________时，CF⊥平面B₁DF．

如图，面ABC⊥面BCDE，M是BC中点，BCDE是矩形．
求证：AM⊥DC．
证明如下：法一：
∵△ABC是正三角形且M是BC中点，∴__________，
又∵面ABC⊥面BCDE且__________及AM⊂面ABC．
∴AM⊥面BCDE．又∵__________∴AM⊥DC．
法二：∵BCDE是矩形∴BC⊥DC．
又∵__________且面ABC∩面BCDE=BC及__________．∴DC⊥面ABC．
又∵__________∴AM⊥DC．

如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为__________．

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=AC=AP=1，BC=

2

，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是__________．

空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是__________．

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E为DC边的中点，沿AE将△ADE折起，在折起过程中，下列结论中能成立的序号为__________．

①ED⊥平面ACD
②CD⊥平面BED
③BD⊥平面ACD
④AD⊥平面BED．

如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：
①BC⊥PC；②OM∥平行APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．
其中正确的命题为__________．

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，当底面四边形A₁B₁C₁D₁满足条件__________时，有A₁C⊥B₁D₁（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．