已知四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC向上折起，使D为D′，且平面AD′C⊥平面ABC，F是AD′的中点，E是AC上一点，给出下列结论：
①存在点E，使得EF∥平面BCD′
②存在点E，使得EF⊥平面ABC
③存在点E，使得D′E⊥平面ABC
④存在点E，使得AC⊥平面BD′E′
其中正确结论的序号是__________．

已知三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的__________心．

如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PB=BC，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E．
（1）证明：EF∥平面ABP；
（2）证明：BD⊥AC．

若△ABC中，∠C=90°，AB=4，∠B=30°，PC⊥平面ABC，PC=2

3

，P′是AB上的动点，则△PP′C的面积的最小值为__________．

已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC=1，AC=2，AB=

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．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为__________．

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各条棱所在的直线中，与直线AA₁垂直的条数共有__________条．

如图，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE=__________．

边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B=__________．

如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：
①MO∥平面PAC；
②PA∥平面MOB；
③OC⊥平面PAC；
④平面PAC⊥平面PBC．
其中正确的命题的序号是__________．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC．
（1）求证：AC⊥A₁B；
（2）求三棱锥C₁-ABA₁的体积．