4371 难度：3

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠PCD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，设E、F分别为PD、AD的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥AC；
（Ⅱ）求证：PB∥平面CEF；

4372 难度：3

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，△PAB和△PBC是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为AC的中点，E为PB的中点．
（Ⅰ）求证：OE∥平面PCD；
（Ⅱ）在线段DP上是否存在一点Q，使直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为

2

3

？若存在，求出点Q的位置；若不存在，说明理由．

4373 难度：3

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，AA₁=BC=3，A₁B=AC=4，AB=5，E为AB的中点．
（1）求证：BC₁∥平面A₁CE；
（2）求证：A₁A⊥平面A₁BC；
（3）求三棱锥A₁-ACE的体积．

4374 难度：3

如图所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为2，点D是A₁B的中点，点E是B₁C₁的中点．
（1）证明：DE∥平面ACC₁A₁；
（2）若三棱锥E-DBC的体积为

3

12

，求该正三棱柱的底面边长．

4375 难度：3

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，AB=2，∠A₁AB=∠A₁AC=60°，M，N分別为AB，A₁C₁的中点．
（1）证明：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）若MN=

17

，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面积．

4376 难度：3

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E，F分别是A₁C₁，BC的中点
（1）求证：AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：C₁F∥平面ABE．

4377 难度：3

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁．

4378 难度：3

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC=CC₁，设AB₁的中点为D，BC₁∩B₁C=E．求证：
（Ⅰ）DE∥平面AA₁C₁C；
（Ⅱ）BC₁⊥AB₁．

4379 难度：3

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC=CC₁，设AB₁的中点为D，B₁C∩BC₁=E．求证：
（1）DE∥平面AA₁C₁C；
（2）BC₁⊥平面AB₁C．

4380 难度：3

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证：
（1）OM∥平面PAD；
（2）OM⊥平面PCD．