求棱长为

2

a的正四面体的外接球半径和内切球半径．

如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
（1）这种“浮球”的体积是多少cm³（结果精确到0.1）？
（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？

已知一个半径为

3

的球有一个内接正方体（即正方体的顶点都在球面上），求这个球的球面面积与其内接正方体的全面积之比．

已知在长方体AC′中，且AA′=1，AB=AD=2，
（1）求三棱锥A-A'BD的体积；
（2）若M，N分别是AD，BC的中点，求棱柱D′DM-C′CN的体积；
（3）求该长方体外接球的表面积．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB中点，E是AC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）求异面直线AB与DE所成的角；
（2）若M，N分别为棱AC，BC上的动点，求△DMN周长的平方的最小值；
（3）在三棱锥D-ABC的外接球面上，求A，B两点间的球面距离和外接球体积．

已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．
（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？
（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）

一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面高是多少？

如图（1）所示，在北纬30°圈上两地A，B的经度差为锐角θ，若sinθ=

2 2

3

，求A，B两地间的球面距离（地球半径为R）．
（2）如图（2）所示，三条侧棱两两垂直且长都为1的正三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积．

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a，PB=

3

a，PD=a，PA=PC=

2

a，且PD是四棱锥的高．
（1）在四棱锥内翻入一球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．

长方体的体积公式为V_长=Sh，柱体的体积公式为V_柱=Sh，锥体的体积公式为V_椎=

1

3

Sh．若给出原理“两等高的几何体，若被平行于底面的平面所截的截面积相等，则这两个几何体的体积相等”．试用上述知识解释球的体积公式V球=

4

3

πR³．