轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．

（1）已知球的表面积为64π，求它的体积．
（2）已知球的体积为

500

3

π，求它的表面积．

如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，它的三视图如图所示，求该棱锥的：
（Ⅰ）全面积；
（Ⅱ）内切球体积；
（Ⅲ）外接球表面积．

设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O．
（1）求球O的体积和表面积；
（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为M，AB是圆M内的一条弦，其长为2

3

，求AB两点间的球面距离．

如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆PH，HA，HB，HC构成，其底端三点A，B，C均匀地固定在半径为3m的圆O上（圆O在地面上），P，H，O三点相异且共线，PO与地面垂直．现要求点P到地面的距离恰为3

3

m，记用料总长为L=PH+HA+HB+HC，设∠HAO=θ．
（1）试将L表示为θ的函数，并注明定义域；
（2）当θ的正弦值是多少时，用料最省？

如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，FC∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）证明五点A、B、C、E、F在同一个球面上，并求A、F两点的球面距离．

已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为5cm，
（1）求它的高；
（2）若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的体积．

已知直线x+y-1=0与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M是线段AB上的一点，

AM

=-

BM

，且点M在直线l：y=

1

2

x上，
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程．

祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的．祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．可以用诗句“两个胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面积，两人必然同样胖”形象表示其内涵．利用祖暅原理可以推导几何体的体积公式，关键是要构造一个参照体．试用祖暅原理推导球的体积公式．

球面上的3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1

6

，经过这3个点的小圆的周长为4π，求这个球的体积．