一颗人造卫星在地球上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球一周，将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合，已知卫星与中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空A′，12：03时卫星通过C
点，（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）
（1）求人造卫星在12：03时与卫星跟踪站A之间的距离．（精确到1千米）
（2）求此时天线方向AC与水平线的夹角（精确到1分）．

已知梯形ABCD中，BC∥AD，AB=AC=

1

2

AD=1，且∠ABC=90°，以AC为折痕使得折叠后的图形中平面DAC⊥平面ABC．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求四面体ABCD的外接球的体积；
（3）在棱AB上是否存在点P，使得直线CP与平面ABD所成的角为45°？若存在，请求出线段PB的长度，若不存在，请说明理由．

已知梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=

1

2

AD=1，且∠ABC=90°，以AC为折痕使得折叠后的图形中平面DAC⊥ABC．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求四面体ABCD的外接球的体积；
（3）在棱AD上是否存在点P，使得AD⊥平面PBC．

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）求证：点A在PA为直径的圆上；
（2）若在这个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．

一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的

3

16

，设球的半径为R，圆锥底面半径为r．
（1）试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；
（2）求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．

已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，求球的表面积和体积．

几何体是半径为3的球，计算该几何体的表面积和体积．

如图，在北纬60°线上，有A、B两地，它们分别在东经20°和140°线上，设地球半径为R，求A、B两地的球面距离．

某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131°和147°，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为1537.45 千米，乙监测点到卫星的距离为887.64 千米．假设地球赤道是一个半径为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到0.01 千米）和经度（结果精确到0.01°）．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长AB=a且PD=a，PA=PC=

2

a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径．（提示：PD是四棱锥P-ABCD的高）