已知矩形ABCD的边AB=2，BC=1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系．将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点A₁
（1）当点A₁坐标为（1，1）时，求折痕所在直线方程．
（2）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（3）当-2+

3

≤k＜0时，设折痕所在直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，将△AEF沿折痕EF旋转．使二面角A-EF-A₁的大小为53°，设三棱锥E-AA₁F的外接球表面积为S，试求

S

(k2+1)2

最小值．

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=

2

，AA₁=

3

（1）求证：直线A₁B∥平面ACD₁
（2）已知三棱锥D₁一BCD的所有顶点在同一个球面上，求这个球的体积．

已知正四面体棱长为1，分别求该正四面体的外接球与内切球半径．

某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34π（cm³）．现设圆柱的底面半径为2x（cm），工艺品的表面积为S（cm²），半球与圆柱的接触面积忽略不计．
（1）试写出S关于x的函数关系式并求出x的取值范围；
（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？并求出最小值．
参考公式：球体积公式：V=

4

3

πR3；球表面积公式：S=4πR²，其中R为球半径．
注：第一问中，如果表面积是分球和圆柱独立求出的，对一个给2分．

如图1所示，在梯形BCDE中，DE∥BC，且DE=

1

2

BC，∠C=90°，分别延长两腰交于点A，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如图2所示．
（1）求证：A₁F⊥BE；
（2）若BC=6，AC=8，四棱锥A₁-BCDE的体积为12

3

，求四棱锥A₁-BCDE的表面积．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁，C₁，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，这个几何体的体积为

40

3

．
（1）求棱AA₁的长；
（2）求经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积和体积．

如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且

DG

GH

=

BR

RH

．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．
（1）求证：GR⊥平面PEF；
（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P-DEF的内切球的半径．

在北纬30°线上有A，B两地，它们分别在东经50°与东经140°的经线上，又有点C在东经50°，南纬15°线上，设地球半径为R，求：
（1）A，C两地的球面距离；
（2）A，B两地的球面距离（用R表示）．

已知在几何体ABCDE中，AB⊥平面BCE，且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，F是线段CD上的中点，G是线段BE的中点，且AB=2．
（Ⅰ）求证：GF∥平面ADE；
（Ⅱ）求三棱锥F-BGC的表面积．

如图是某几何体的三视图．
（1）求该几何体外接球的体积；
（2）求该几何体内切球的半径．