如图是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的直观图中分离出来的．
（Ⅰ）求直观图中△A₁C₁D₁的面积；
（Ⅱ）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？

在梯形ABCD中（图1），AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作CD的垂线，垂足分别为E、F，且AE=2DE，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，使得CF⊥FE，且DE∥CF，得空间几何体ADE-BCF（图2）．直线AC与平面ABFE所成角的正切值是

2

2

．
（1）求证：BE∥平面ACD；
（2）求多面体ADE-BCF的体积．

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=m，点M是棱CD的中点．
（1）求异面直线B₁C与AC₁所成的角的大小；
（2）是否存在实数m，使得直线AC₁与平面BMD₁垂直？说明理由；
（3）设P是线段AC₁上的一点（不含端点），满足

AP

PC1

=λ，求λ的值，使得三棱锥B₁-CD₁C₁与三棱锥B₁-CD₁P的体积相等．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，CD=8，BA=4，AC与BD交于O，点E为PC上一点，且PE=

1

2

EC．
（Ⅰ）证明：OE∥平面PAD；
（Ⅱ）若直线PB与底面ABCD所成的角为45°，且AC⊥BD，求四棱锥P-ABCD的体积．

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是边AD上的一点，且AE=2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC=SD．
（1）证明：SH⊥平面BCDE．
（2）求四棱锥S-BCDE的体积．

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面是边长是1的正方形，侧棱PA与底面成45°的角，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．
（3）二面角P-AC-D平面角的正切值．

如图，几何体EF-ABCD中，CDEF是边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，∠ADF=90°．
（1）求异面直线BE和CD所成角的大小；
（2）求几何体EF-ABCD的体积；
（3）若平面ABCD内有一经过点B的曲线Γ，该曲线上的任一动点都满足EQ与CD所成角的大小恰等于BE与CD所成角．试判断曲线Γ的形状并说明理由．

如图，已知四棱锥P-ABCD的侧棱PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=2AD=4，DC=6，PD=3，点M在棱PC上，且PC=3CM．
（1）证明：BM∥平面PAD；
（2）求三棱锥M-PBD的体积．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，且AA₁⊥平面ABC，AB=AA₁=2，且D为棱AA₁的中点．
（1）求多面体C₁-BB₁A₁D的体积；
（2）若在B₁C₁上存在点E使A₁E∥平面BDC₁，求

C1E

C1B1

的值．

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为BC，PD边上的中点．
（Ⅰ）求证：CF∥平面PAE；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，求三棱锥P-ABE的体积．