3411 难度：3

如图，已知四棱锥的底面是边长为4cm的正方形，E为BC的中点，高为PO，∠OPE=30°，且侧棱长都相等，求该四校锥的侧面积与表面积．

3412 难度：3

如图，在四棱锥S-ABCD中，正△SBD所在平面与矩形ABCD所在平面垂直．
（1）证明：S在底面ABCD的射影为线段BD的中点；
（2）已知AB=4，AD=2，E为线段BD上一点，且CE⊥BD，求三棱锥E-SAD的体积．

3413 难度：3

已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC，BC=2，tan∠ABC=2

2

（如图所示）
（Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积．
（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离．

3414 难度：3

如图，AB是圆柱的底面直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=2，点C是圆柱底面面圆周上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当三棱锥P-ABC体积最大时，求二面角C-PB-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）若AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值．

3415 难度：3

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D，E分别是BC与B₁C₁的中点．
（1）求证：平面A₁EB∥平面ADC₁；
（2）若BC=AC=2，AD=

7

，CC₁=3，求三棱锥A-C₁CD的体积．

3416 难度：3

被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P_i（i=l，2，…24）为棱上的四等分点，
（1）求该方灯体的体积．
（2）求直线P₁P₂和P₆P₁₁的所成角．
（9）求直线P₉P₁₃和平面P₁P₂P₉的所成角．

3417 难度：3

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，AB₁∩A₁B=E，D为AC上的点，B₁C∥平面A₁BD；
（1）求证：BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）若AB=1，且AC•AD=1，求二面角B-A₁D-B₁的正弦值．

3418 难度：3

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，△PCD是正三角形，PC⊥AC，E是PA的中点．
（1）证明：AC⊥PD；
（2）求三棱锥P-BDE的体积．

3419 难度：3

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，E，F分别为PC，DC的中点，PA=DC=2AB=2AD=2．
（1）证明：平面PAD∥平面EBF；
（2）求三棱锥P-BED的体积．

3420 难度：3

已知正三角形ABC的边长是a，若O是△ABC内任意一点，那么O到三角形三边的距离之和是定值

3

2

a．这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”．如图，设O到三边的距离分别是OD、OE、OF，则S=

1

2

a•OD+

1

2

a•OE+

1

2

a•OF=

1

2

a•(OD+OE+OF)=

1

2

a•h为正三角形ABC的高

3

2

a，即OD+OE+OF=

3

2

a．运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明．