直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E为AA₁的中点，AB=BC=AA1=

2

，∠ABC=90°，D为AC上一点，且BD⊥平面ACC₁A₁．
（I）证明：DE⊥平面BC₁D；
（Ⅱ）在线段AB₁上是否存在一点P，使得二面角P-BD-C₁的余弦值为-

1

3

，若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱长和底面边长均为1，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求A₁A与平面ADC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁B₁上是否存在点E，使CE⊥平面ADC₁？若存在，求

A1E

A1B1

的值，若不存在，说明理由．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是长方形，2AD=CD=PD=2，PA=

5

，二面角P-AD-C为120°，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且AF=

1

2

．
（Ⅰ）平面PCD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求棱锥C-DEF的高．

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱AB上的动点．
（1）求证：DA₁⊥ED₁；
（2）若直线DA₁与平面CED₁所成的角是45°，请你确定点E的位置，并证明你的结论．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，点A₁在平面ABC内的射影D在AC上，E是B₁C₁的中点∠BAC=∠CAA₁=60°，且AB=AC=AA₁．
（I）求证：DE∥平面AA₁B₁B；
（Ⅱ）求证：B₁C⊥A₁B．

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB=PD，Q是棱PC上异于P，C的一点．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF（点F在棱PB上），求证：QF∥BC．

如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，SO=2

3

，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线PC与底面所成的角的大小．

（理科学生做）如图，在半径为R，圆心角为

π

3

的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF，并且EP与∠AOB的平分线OC平行，设∠POC=θ．
（1）试将长方形EPQF的面积S（θ）表示为θ的函数；
（2）若将长方形EPQF弯曲，使EP和FQ重合焊接制成圆柱的侧面，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积（假设圆柱有上下底面）；为了节省材料，想从△OEF中直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面，请问是否可行？并说明理由．
（参考公式：圆柱体积公式V=S•h．其中S是圆柱底面面积，h是圆柱的高；等边三角形内切圆半径r=

3

6

a．其中a是边长）

如图，直角△ABC满足∠C=90°，∠B=30°，AC=1，将△ABC沿斜边AB旋转一周得到一个旋转体，试判断该旋转体的形状，并求这个旋转体的表面积S和体积V．

如图，梯形ABCD满足AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2

3

，BC=1，∠BAD=30°，现将梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙Ω
（1）求Ω的体积V；
（2）求Ω的表面积S．