圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦点到准线的距离为p的抛物线．
（1）求圆锥的母线与底面所成角的大小；
（2）求圆锥的侧面积．

如图①，有一个圆柱形状的璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α（图②）
（1）求图②中圆锥的母线与液面所在平面所成的角（用α表示）；
（2）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求角α的最大值；
（3）要保证倒出的溶液体积不少于1500cm³，求角α的取值围（保留到0.1）

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均2，D为棱BB₁（不包括端点）上一动点，E是AB的中点．
（Ⅰ）若AD⊥A₁C，求BD的长；
（Ⅱ）当D在棱BB₁（不包括端点）上运动时，求平面ADC₁与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围．

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2

2

的正方形，平面PAC⊥底面ABCD，PA=PC=2

2

．
（Ⅰ）求证：PB=PD；
（Ⅱ）点M，N分别在棱PA，PC上，PM=AM，PN=CN，求直线PB与平面DMN所成角的正弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，平面DMN与直线PB的交点为Q，在线段BC上，是否存在一点H，使得DQ⊥PH，若存在，求BH的长，若不存在，请说明理由．

如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．求：
（1）求出此圆锥的侧面积；
（2）用x表示此圆柱的侧面积表达式；
（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．

如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计杯子使其所用材料面积最小，并求面积的最小值？

在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面馘得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去．
（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；
（2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的

3

7

，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB=6，BC=8，AC=10，BB₁=3，E为A₁C₁的中点，过A、B、E的平面与B₁C₁交于点F．
（1）求证：点F为B₁C₁的中点；
（2）四边形ABFE是什么平面图形？说明理由，并求其面积．

在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ACD=∠CAB，∠ADC=45°，AD=

2

AC，PC=PD．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）若AB=CD=PC=

2

，求三棱锥C-PAB的高．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别是AB₁和BC的中点．
（1）证明：MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，求棱锥C₁-AMN的高．