我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S_圆及S_环两截面．可以证明S_圆=S_环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是__________．

把三个半径都是2的球放在桌面上，使它们两两相切，然后在它们上面放上第四个球（半径是2），使它与下面的三个球都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为__________．

把一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面半径的比是1：3，圆台的母线长是10，则原来的圆锥的母线长是__________．

现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则__________一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是__________．

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，若E为棱PC上一点，满足BE⊥AC，则

PE

EC

=__________．

棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AB、AD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为__________．

如图：四面体ABCD的底面ABC是直角三角形，AC⊥BC，AC=3，BC=4，DA⊥平面ABC，DA=5，E是BD上的动点（不包括端点）．
（1）求证：AE与BC不垂直；
（2）当AE⊥DC时，求

DE

EB

的值．

在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=2CD=2BC=2AD=4，∠DAB=60°，AE=BE，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求二面角P-EC-D的余弦值；
（2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为

6

8

？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

如图，已知圆锥底面半径r=20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧

AC

的中点，点P为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．

据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；
（2）假设球半径r=10cm．试计算出图案中圆锥的体积和表面积．