24991 难度：3

仔细观察下面的不等式，寻找规律，合理猜想出第n个不等式，并用数学归纳法证明你的猜想．
（1+

1

1

）＞

3

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）＞

5

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）＞

7

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）（1+

1

7

）＞

9

，（1+

1

1

）（1+

1

3

）（1+

1

5

）（1+

1

7

）（1+

1

9

）＞

11

．…

24992 难度：3

用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

n+n

＞

11

24

（n∈N，n≥1）

24993 难度：3

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，g(n)=2(

n+1

-1)(n∈N*)．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

24994 难度：3

用数学归纳法证明：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(2n-1)2

＜2-

1

2n-1

(n≥2)（n∈N^*）时第一步需要证明（　　）

A．1＜2- 1 2-1

B．1+ 1 22 ＜2- 1 22-1

C．1+ 1 22 + 1 32 ＜2- 1 22-1

D．1+ 1 22 + 1 32 + 1 42 ＜2- 1 22-1

24995 难度：3

在数列|a_n|中，a₁=t-1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a_n+1（a_n+tⁿ-1）=a_n（tⁿ⁺¹-1），（n∈N⁺）
（1）猜想出数列|a_n|的通项公式并用数学归纳法证明之；
（2）求证：a_n+1＞a_n，（n∈N⁺）．

24996 难度：3

由下列式子　1＞

1

2

1+

1

2

+

1

3

＞1
1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

＞

3

2

1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＞2
…
猜想第n个表达式，并用数学归纳法给予证明．

24997 难度：3

已知数列{a_n}满足a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．是否存在等差数列{b_n}，使得数列{a_n}与{b_n}满足a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_nC_nⁿ对一切正整数n成立？证明你的结论．

24998 难度：3

已知f（n）=1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+…+

1

n3

，g（n）=

3

2

-

1

2n2

，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

24999 难度：3

若f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞

n+1

．

25000 难度：3

已知数列{a_n}是等差数列，（1+

x

2

）^m（m∈N^*）展开式的前三项的系数分别为a₁，a₂，a₃．
（1）求（1+

x

2

）^m（m∈N^*）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）当n≥2（n∈N^*）时，试猜测

1

an

+

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

an2

与

1

3

的大小并证明．