25001 难度：3

若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4，（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+ 

1

x3

）≥9，…，

请你猜测（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．

25002 难度：3

用数学归纳法证明等式：n∈N，n≥1，1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

．

25003 难度：3

设f(n)=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

2n

，则f（k+1）-f（k）=__________．

25004 难度：3

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及Sn=

n

i=1

ai；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

25005 难度：3

是否存在常数a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c对一切正整数n成立？证明你的结论．

25006 难度：3

已知数列{a_n}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=

1

2

an•(4-an)，n∈N．
（1）求a₁，a₂；
（2）证明a_n＜a_n+1＜2，n∈N．

25007 难度：3

设函数f(x)=

x-1

x

log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R⁺，且

1

m

+

1

t

=1，求证：tlog2m+mlog2t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n

=1，求证：

log2a1

a1

+

log2a2

a2

+

log2a3

a3

+…+

log2a2n

a2n

≤n．

25008 难度：3

已知正项数列{a_n}中，a1=1，an+1=1+

an

1+an

(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．

25009 难度：3

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-

1

2

＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n） （n∈N^*）
（1）求f（x）在[-

1

2

，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-

1

2

＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

25010 难度：3

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．