24971 难度：3

（1）当x＞1时，求f(x)=

x2

x-1

的最小值．
（2）用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

≥

1

2

（n∈N^*）．

24972 难度：3

设S_n为数列{a_n}的前n项和，且对于n∈N^*，都有Sn=

n2

2

+

an

2

成立；
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

24973 难度：3

数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+

1

n2+n

）a_n+

1

2n

（n≥1）．
（1）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（2）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜2e

3

4

（n≥1）（其中无理数e=2.71828…）．

24974 难度：3

在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n条直线最多可将平面分成

1

2

n2+

1

2

n+1个部分．现探究：空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分，n∈N*．
设空间内n个平面最多可将空间分成f（n）=an³+bn²+cn+1个部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）用数学归纳法证明此结论．

24975 难度：3

已知：在数列{a_n}中，a₁=7，a_n+1=

7an

an+7

，
（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式．
（2）请证明你猜想的通项公式的正确性．

24976 难度：3

当n是正整数时，比较并证明n²与2ⁿ的大小．

24977 难度：3

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+a_n+1=3×2^n-1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1+

2

，求证：数列{b_n}中任意三项均不成等比数列．

24978 难度：3

已知数列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…，

1

n(n+1)

，…，
（1）先计算前几项和S₁，S₂，S₃，并猜想前n项和S_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明S_n的表达式．

24979 难度：3

数列{a_n}满足a_n+5a_n+1=36n+18，n∈N^*，且a₁=4．
（1）写出{a_n}的前3项，并猜想其通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

24980 难度：3

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=

a

2 n

-na_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）猜测a_n与n+2的大小关系，并用数学归纳法证明．