（选做题）已知a，b，c为正实数，且a，b，c∈(1，

7

)．
（Ⅰ）证明：

1

a2-1

+

1

7-a2

≥

2

3

；
（Ⅱ）求

1

(a2-1)(7-b2)

+

1

(b2-1)(7-c2)

+

1

(c2-1)(7-a2)

的最小值．

选修4-5：不等式选讲
已知|x-2y|=5，求证：x²+y²≥5．

数列{a_n}满足a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln

n+2

2

；
（III）证明：

n

2

-(

a12

a1+a2

+

a22

a2+a3

+…+

an2

an+a1

)＜ln

n+1

．

选修4-5：不等式证明选讲
已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5，求a的取值范围．

已知x、y、z均为正数，求证：

3

3

(

1

x

+

1

y

+

1

z

)≤

1 x2 + 1 y2 + 1 z2

．

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，s=

1

2

（a+b+c）
（1）证明

1

A

+

1

B

+

1

C

≥

9

π

；
（2）若s²=2ab，试证s＜2a．

选修4-5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：（

a

+

b

+

c

）（

a

a

+

b

b

+

c

c

）≥9．

（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2

3

，OA=

3

OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x²+4xy+2y²=1在二阶矩阵M=

.

1 a b 1

.

的作用下变换为曲线x²-2y²=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t  y=-1- 3 5 t

（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求证：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

（选做题）已知x²+3y²+4z²=2，求证：|x+3y+4z|≤4．

已知实数x，y满足x²+y²=4，则4（x-

1

2

）²+（y-1）²+4xy的取值范围是__________．