已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x²+y²+z²的最小值为__________．

选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a²+b²+c²+d²+e²=16，试确定e的最大值．

设a，b，c均为正数，且a+b+c=12，则

1

a

+

9

b

+

25

c

的最小值为__________．

已知函数f（x）=|x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；
（Ⅱ）若[f（x）]²+y²+z²=9，试求x+2y+2z的最小值．

（不等式选讲）若实数a，b，c满足a²+b²+c²=4，则3a+4b+5c的最大值为__________．

已知x，y，z∈R，且x²+y²+z²=1，则x+2y+3z的最大值是__________．

设a，b，c，x，y，z是正数，且a²+b²+c²=10，x²+y²+z²=40，ax+by+cz=20，则

a+b+c

x+y+z

=__________．

已知实数x，y，z满足：（x-1）²+y²+z²=1，则2x+2y+z的最大值是__________．

对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A₁，B₁，C₁，则AA1+BB1+CC1≥

9R

2

”．
证明如下：

OA1

AA1

+

OB1

BB1

+

OC1

CC1

=

S△OBC

S△ABC

+

S△OAC

S△ABC

+

S△OAB

S△ABC

=1，
即：

AA1-R

AA1

+

BB1-R

BB1

+

CC1-R

CC1

=1，即

1

AA1

+

1

BB1

+

1

CC1

=

2

R

，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(

1

AA1

+

1

BB1

+

1

CC1

)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥

9R

2

．
将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A₁，B₁，C₁，D₁，则__________”．

已知空间的点P（x，y，z）（x，y，z∈R）到原点O（0，0，0）的距离为3，则式子x+2y+2z的最大值与最小值的差是__________．