如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O．若

AB

•

AC

=6

AO

•

EC

，则

AB

AC

的值是__________．

已知

tanα

tan(α+ π 4 )

=-

2

3

，则sin（2α+

π

4

）的值是__________．

设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）=

1-(x-1)2

，g（x）=

k(x+2)， 0＜x≤1， - 1 2 ， 1＜x≤2，

其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是__________．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．过F₂作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F₂：（x-1）²+y²=4a²交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF₁并延长交圆F₂于点B，连结BF₂交椭圆C于点E，连结DF₁．已知DF₁=

5

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求点E的坐标．

设函数f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{-3，1，3}中，求f（x）的极小值；
（3）若a=0，0＜b≤1，c=1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤

4

27

．

定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”．
（1）已知等比数列{a_n}（n∈N^*）满足：a₂a₄=a₅，a₃-4a₂+4a₁=0，求证：数列{a_n}为“M-数列”；
（2）已知数列{b_n}（n∈N^*）满足：b₁=1，

1

Sn

=

2

bn

-

2

bn+1

，其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
①求数列{b_n}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M-数列”{c_n}（n∈N^*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c_k≤b_k≤c_k+1成立，求m的最大值．

设x∈R，解不等式|x|+|2x-1|＞2．

设（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，n≥4，n∈N*．已知a₃²=2a₂a₄．
（1）求n的值；
（2）设（1+

3

）ⁿ=a+b

3

，其中a，b∈N*，求a²-3b²的值．

在平面直角坐标系xOy中，设点集A_n={（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B_n={（0，1）
，（n，1）}，C_n={（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M_n=A_n∪B_n∪C_n．从集合M_n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．
（1）当n=1时，求X的概率分布；
（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．

已知P（x，y）为圆（x-2）²+y²=1上的动点，则3x+4y-4的最大值为__________．