2141 难度：3

已知函数f（x）=

1

x-a

+

1

x+a

+b（a，b∈R且a≠0）．
（1）判断y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；
（2）设g（x）=b（x+1），试讨论y=f（x）-g（x）的零点个数情况．

2142 难度：3

已知函数f（x）=x²-ax-|ax-2|，（a＞0）．
（Ⅰ）若a∈（0，2），解不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）设x₁，x₂，x₃，x₄是函数y=f（x）+1的四个不同的零点，问是否存在实数a，使得其中三个零点成等差数列？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由．

2143 难度：3

已知f（x）=log₃x．
（1）作出这个函数的图象；
（2）若f（a）＜f（2），利用图象求a的取值范围．

2144 难度：3

已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜4x的解集；
（2）若关于x的方程f（x）=|m|存在实数解，求实数m的取值范围．

2145 难度：3

已知f（x）=|x-1|．
（1）求函数g（x）=f（x）-2|x+1|的最大值为M；
（2）在第（1）问的条件下，设m＞0，n＞0，且满足

1

m

+

1

2n

=M，求证：f（m+2）+f（2n）≥2．

2146 难度：3

已知a∈R，函数f（x）满足f（x）+log₂x=log₂（ax+1）．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＞1；
（Ⅱ）若关于x的方程f(x)=2log

1

2

x的解集中有且只有一个元素，求a的值；
（Ⅲ）设a＞0，若对∀t∈[

1

2

，

3

2

]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

2147 难度：3

已知函数f（x）=

1

4

ax²-2x+a-3（a∈R）在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，求a的取值范围．

2148 难度：3

已知函数f（x）=|x|，g（x）=m|x-3|．
（1）若m=2，且f（x）-g（x）≥0在[a，a+1]上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若当x＞5时，函数g（x）的图象恒在函数f（x）图象的上方，求实数m的取值范围．

2149 难度：3

若

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），x∈[-

π

3

，

π

4

]，函数f（x）=

a

•

b

-m|

a

+

b

|+1，m≥

7

6

．
（1）求不等式|

a

+

b

|＞

3

的解集；
（2）若f（x）的最小值为-1，求实数m的值；
（3）讨论方程49f（x）+24m²=0解的个数．

2150 难度：3

已知函数f（x）=|2x+1|-|2x-1|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤1的解集；
（Ⅱ）若方程

f(x)

2

+a=x有三个实数根，求实数a的取值范围．