某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．
（1）求这150名高中学生体重的样本平均数

x

和样本方差s²；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）
（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ²），其中u近似为样本平均数

x

，δ²近似为样本方差s²；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．
①利用该正态分布，求P（Z＜33.4）；
②某机构从该校高中学生中任取1000名学生，记X表示这1000名学生中体重有严重问题的人数，求EX．
附：(

150

≈12.2，若Z～N（u+δ²），则P（u-δ＜Z＜u+δ）=0.6826，P（u-2δ＜Z＜u+2δ）=0.9544
，P（u-3δ＜Z＜u+3δ）=0.9974．

为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．
（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数

x

和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本方差s²．
（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；
（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．
附：

6.16

≈2.5，若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9545

某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm）进行测量，得出这批钢管的直径X，服从正态分布N（65，4.84）．
（1）如果钢管的直径X满足62.8mm～67.2mm为合格品，求该批钢管为合格品的概率（精确到0.01）；
（2）现有25根该种钢管且合格率恰好满足（1）的结论，从中任意挑选2根，求次品数ξ的分布列和数学期望．
（参考数据：若ξ～N（μ，σ²），P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ＜μ+3σ）=0.9974）

莞草编织的莞席曾是东莞人的骄傲，早在《诗经》就有“上莞下簟，乃安斯寝”．近年来莞草生长环境恶劣，为保护莞草编织这一非物质文化遗产，东莞市非遗保护中心在沙田镇设立专门的莞草种植基地，以保障莞草地生长，某科研所为进一步改良莞草，对莞草的生长高度进行研究，在基地随机抽取了1000株莞草，测量其生长高度（单位：cm），并制成频率分布直方图，如图所示．

（1）求样本中生长高度在105cm以上（含105cm）的株数；
（2）已知莞草生长高度X～N（μ，σ²），其中μ近似为样本的平均数，σ²近似为样本方差，试估计该基地的所有莞草生长高度介于100～138.2cm的概率；
（3）以频率估计概率，若从该基地所有的莞草中随机抽取4株，记这4株中生长高度在[105，125）（单位：cm）内的株数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考数据：

356

≈18.9，

366

≈19.1，

376

≈19.4．
若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.982，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9976．

某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布N（69，49），现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算该校50名学生成绩的平均值

x

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）求这50名学生成绩在[80，100]内的人数；
（Ⅲ）现从该校50名考生成绩在[80，100]的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前26名的人数记为X，求X的分布列和数学期望．
参考数据：若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6828
P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544
P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．

已知X～N（-1，σ²），若P（-3≤X≤-1）=0.4，试求P（-3≤X≤1）的值．

某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图．
（1）根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
（2）假设甲在每场比赛的表现服从正态分布N（μ，σ²），且各场比赛间相互没有影响，依次估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．
参考数据：

32

≈5.66，

32.25

≈5.68，

32.5

≈5.70
正态分布N（μ，σ²）在区间（μ-2σ，μ+2σ）内取值的概率为0.954．

某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：
（1）求直方图中a的值；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（200，12.2²），试计算数列落在（187.8，212.2）上的概率．
参考数据：若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6828，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544
（3）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系：y=

0.4x，x≤205 0.8x-80，x＞205

．假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该该食品的平均成本．

为了解某校学生假期日平均数学学习时间情况，现随机抽取500名学生进行调查，由调查结果得如下频率分布直方图

（Ⅰ）求这500名学生假期日平均数学学习时间的样本平均数

x

和样本方差s²（同一组中的数据用该组的中点值做代表）．
（Ⅱ）由直方图认为该校学生假期日平均数学学习时间X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本的方差s²，
（i）利用该正态分布，求P（100＜X≤122.8）；
（ii）若随机从该校学生中抽取200名学生，记ξ表示这200名学生假期日平均数学学习时间位于（77.2，122.8）的人数，利用（i）的结果，求E（ξ）
附：

130

≈11.4，
若X～N（μ，σ²），则p（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，p（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ²）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得

x

=

1

16

16

i=1

xi=9.97，s=

1 16 16 i=1 (xi- x )2

=

1 16 ( 16 i=1 x 2 i -16 x 2)

≈0.212，其中x_i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数

x

作为μ的估计值

̂

μ

，用样本标准差s作为σ的估计值

̂

σ

，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(

̂

μ

-3

̂

σ

，

̂

μ

+3

̂

σ

)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974¹⁶≈0.9592，

0.008

≈0.09．