党的十八大以来，党中央从全面建成小康社会全局出发，把扶贫工作摆在治国理政的突出位置，全面打响脱贫攻坚战，2018年6月《中共中央、国务院关于打赢脱贫攻坚战三年行动的指导意见》发布，对精准脱贫这一攻坚战做出了新的部署，2019年3月，十三届全国人大二次会议召开，3月7日，国务院扶贫办刘永富回答记者问时表示：“我国脱贫攻坚取得显著成就，贫困人口从2012年的9899万人减少到2018年的1660万人，连续6年平均每年减贫1300多万人．并表示：“今年再努力一年，攻坚克难，再减少贫困人口1000万人以上，再摘帽300个县左右．”
根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.2万元的家庭确定为“贫困户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018年的全年收入进行调查，抽查结果如下频率分布直方图：

（1）求这200户家庭的全年收入的样本平均值

x

和方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这200户家庭收入Z近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本方差s²．
（i）利用该正态分布，求P（Z＜1.2）；
（ii）若从该县100万户中随机抽取100户，记X为这100户家庭中“贫困户的数量，利用（i）的结果求E（X）；
附：若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.683，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.954．

为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，16²），分值越低，说明污染越严重；如果分值在[50，60]内，可以认为该企业治污水平基本达标．
（1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；
（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在[18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？
（附：若随机变量X∼N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=68.3%，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=95.4%，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=99.7%）

2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数

x

和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本方差s²．
（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ²），令Y=

X-μ

σ

，则Y～N（0，1），且P（X≤a）=P（Y≤

a-μ

σ

）．
利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．
（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．
参考数据：

178

≈

40

3

，0.773419≈0.0076．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）=0.7734．

为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ²）．
（Ⅰ）假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ-3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X=1）（精确到0.001）及X的数学期望；
（Ⅱ）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在（μ-3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在（μ-3σ，μ+3σ）之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测．
（1）下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：

10.02	9.78	10.04	9.92	10.14	10.04	9.22	10.13	9.91	9.95
10.09	9.96	9.88	10.01	9.98	9.95	10.05	10.05	9.96	10.12

经计算得

x

=

1

20

20

i=1

x_i=9.96，s=

1 20 20 i=1 (xi- x )2

=

1 20 ( 20 i=1 x 2 i -20 x 2)

≈0.19．
其中x_i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i=1，2，…，20．用样本平均数

x

作为μ的估计值

̂

μ

，用样本标准差s作为σ的估计值

̂

σ

，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
（2）试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.9974¹⁹≈0.9517，0.9974²⁰≈0.9493，0.0507²≈0.0026，0.9493²≈0.9012．

每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如右的频率分布直方图：
（Ⅰ）求这100人睡眠时间的平均数

x

（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似地等于样本平均数

x

，σ²近似地等于样本方差s²，s²≈33.6．假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间（39.2，50.8）的人数．
附：

33.6

≈5.8．若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

为了迎接2018年全国高考，我市教研部门为了解学生的数学复习状况，在今年的一模考试中，随机抽取了500名学生的数学考试成绩，统计如表所示：

成绩X	[75，85）	[85，95）	[95，105）	[105，115）	[115，125]
人数Y	30	120	210	100	40

（1）计算各组成绩的频率，并填写在表中；

成绩X	[75，85）	[85，95）	[95，105）	[105，115）	[115，125]
人数Y	30	120	210	100	40
频率

（2）已知本次一模数学测试的成绩X～N（μ，σ²），经过计算得μ=100，σ=10．若我市按40000名考生计算，试估计数学成绩在（110，120]的人数；
（3）将频率视为概率，若从我市所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在[105，115）的人数为ξ，求ξ的分布列以及数学期望．
参考数据：若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．

从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm）落在各个小组的频数分布如表：

数据分组	[12.5，15.5）	[15.5，18.5）	[18.5，21.5）	[21.5，24.5）	[24.5，27.5）	[27.5，30.5）	[30.5，33.5）
频数	3	8	9	12	10	5	3

（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[27.5，33.5）的概率；
（2）求这50件产品尺寸的样本平均数

x

；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均值

x

，σ²近似为样本方差s²，经过计算得s²=22.41，利用该正态分布，求P（z≥27.43）．
附：①若随机变量z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544；②

22.41

≈4.73．

某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N（μ，σ²）
（I）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（Ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.129.9710.019.9510.029.989.2110.03
10.049.999.989.9710.019.9710.0310.11
经计算得

x

=

1

16

16

i=1

xi≈9.96，s=

1 16 10 i=1 (xi- x )2

=

1 16 ( 10 i=1 xi2-16 x 2)

≈0.20，其中x₁为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．用样本平均数

x

作为μ的估计值

μ

，用样本标准差s作为σ的估计值

σ

，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查剔除（μ-3σ，μ+3σ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则p（μ-3σ＜x＜μ+3σ）=0.9974，0.9974¹⁶≈0.9592，

0.0027

≈0.05

随着经济的发展，人民的收入水平逐步提高，为了解北京市居民的收入水平，某报社随机调查了10000名居民的月收入，得到如下的频率分布直方图：
（1）求a的值及这10000名居民的平均月收入x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）①通过大数据分析，北京人的月收入服从正态分布N（μ，σ²），其中μ=

x

，σ=2.9，求北京人收入ξ落在（6.1，9）的概率；
②将频率视为概率，若北京某公司一部门有3人，记这3人中月收入落在（7，11）的人数为X，求X的数学期望．
附：若ξ～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544

某钢管生产车间生产一批钢管（大量），质检员从中抽出若干根对其直径（单位：mm）进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N（65，4.84）．当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73mm，他立即要求停止生产，检查设备，
（Ⅰ）请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
（Ⅱ）如果从该批钢管中随机抽取100根，设其直径满足在60.6mm-65mm的根数为随机变量ξ，（i）求随机变量ξ的数学期望；
（ii）求使P（ξ=k）取最大值时的整数k的值．
附：若随机变量Z服从正态分布Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ-2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9774．