某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）．
（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自[50，60）这一组的概率．
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从正态分布N（μ，14.4²），其中μ近似为样本平均数．
（ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间（54.1，97.3）内的天数（结果保留整数）．
（ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：T＜60时，奖励50元；60≤T＜80，奖励80元；T≥80时，奖励120元．
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于μ时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于μ时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为

奖金	50	100
概率	4 5	1 5

小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
附：若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545．

有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至11kg）频数分布表如下（单位：kg）：

分组	[1，3）	[3，5）	[5，7）	[7，9）	[9，11）
频数	10	30	40	15	5

以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．
（Ⅰ）由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²≈4．请估计该种植园内水果质量在（5.5，9.5）内的百分比；
（Ⅱ）现在从质量为[1，3），[3，5），[5，7）的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1，3），[3，5），[5，7）的水果每销售一个所获得的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和数学期望．
附：若ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9545．

某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A农场购进一批优质棉花，厂方技术员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：mm）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：

长度（单位：mm）	[23，25）	[25，27）	[27，29）	[29，31）	[31，33）	[33，35）	[35，37）	[37，39]
频数	4	9	16	24	18	14	10	5

（1）求这100个样本数据的平均数

x

和样本方差s²（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）将收集到的数据绘成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布X～N（μ，σ²）其中μ≈

x

，σ²=s²
①利用正态分布，求P（X＞μ-2σ）；
②纺织厂将A农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值y_i（i=1，2…，20），数据如下：

y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7	y8	y9	y10
24.1	31.8	32.7	28.2	28.4	34.3	29.1	34.8	37.2	30.8
y11	y12	y13	y14	y15	y16	y17	y18	y19	y20
30.6	25.2	32.9	27.1	35.9	28.9	33.9	29.5	35.0	29.9

若20个样本中纤维均值Y＞μ-2σ的频率不低于①中P（X＞μ-2σ）即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送时掺杂了次品，判断该批棉花不合格．按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由．
附：若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9543，

12.28

≈3.504

PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解A市空气质量情况，从2018年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示．将PM2.5值划分成区间[0，100）、[100，150）、[150，200）、[200，250]，分别称为一级、二级、三级和四级，统计时用频率估计概率．
（1）根据2018年的数据估计该市在2019年中空气质量为一级的天数；
（2）如果A市对环境进行治理，经治理后，每天PM2.5值X近似满足正态分布X～N（115，752），求经过治理后的PM2.5值的均值下降率．

二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从这两大分布，例如检查产品的不合格品数，射击比赛中射中目标的次数等近似服从二项分布；长度的测量误差，零件的尺寸，电子管的使用寿命等服从或近似服从正态分布．并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布B（n，p），当np＞5且n（1-p）＞5时，二项分布就可以用正态分布近似替代即P（X≤x）≈P（Y≤x），其中随机变量Y～N（np，np（1-p））．
（1）如果某射手每次射击击中目标的概率为0.6，每次射击的结果相互独立．
①计算他在连续三次射击中恰连续两次命中目标的概率；
②他在10次射击中，击中目标几次的概率最大？并说明理由；
（2）如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，在100次的射击中，记击中目标的次数为η，计算P（68≤η≤92）
参考数据：ξ～N（μ，σ²），P（μ-σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

按照国际乒联的规定，标准的乒乓球在直径符合条件下，重量为2.7克，其重量的误差在区间[-0.081，0.081]内就认为是合格产品，在正常情况下样本的重量误差x服从正态分布，现从某厂生产的一批产品中随机抽取10件样本，其重量如下：
2.72 2.68 2.7 2.75 2.66 2.7 2.6 2.69 2.7 2.8
（1）计算上述10件产品的误差的平均数

x

及标准差s；
（2）①利用（1）中求的平均数

x

，标准差s，估计这批产品的合格率能否达到96%；
②如果产品的误差服从正态分布N（0，0.0405²），那么从这批产品中随机抽取10件产品，则有不合格产品的概率为多少．
（附：若随机变量x服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜x≤μ+σ）≈0.683；P（μ-2σ＜x≤μ+2σ）≈0.954；P（μ-3σ＜x≤μ+3σ）≈0.977.0.954¹⁰用0.6277，0.997¹⁰用0.9743分别代替计算）

从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数

x

和样本方差s²（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本方差s²
（i）利用该正态分布，求P（127.6＜Z＜140）；
（ii）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（127.6，140）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．
附：

154

≈12.4．若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加．某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数y_i（单位：人）各年份的数据如下表：

年份（t）	1	2	3	4	5
yi	24	27	41	64	79

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与时间t（单位：年）的关系，请通过计算相关系数r加以说明，（若|r|＞0.75，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式r=

m i=1 (ti- t )(yi- y )

m i=1 (ti- t )2 m i=1 (yi- y )2

=

m i=1 tiyi-n t • y

m i=1 (ti- t )2 m i=1 (yi- y )2

参考数据

5695

≈75.47.

5 i=1 (y- y )2

=

2278

，

s

i=1

1y_i=852，

3 i=1 (ti- t )2

=

10

（2）该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表

地区	A	B	C	D	E	F	G	H
时间	0.9	1.6	1.4	2.5	2.6	2.4	3.1	1.5

①求该样本数据的平均数

x

；
②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间x近似服从正态分布N（

x

，0.49），如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间x＞1.3的人数．
（附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²）则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544）

从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：
（Ⅰ）求这1000件产品质量指标的样本平均数

x

和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，δ²近似为样本方差s²．
（i）利用该正态分布，求P（175.6＜Z＜224.4）；
（ii）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值Z∈（175.6，224.4）的定价为16元；若为次品（质量指标值Z∉（175.6，224.4），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元．若该公司卖出100件这种产品，记Y表示这件产品的利润，求E（Y）．
附：

150

≈12.2．若Z～N（μ，δ²），则P（μ-δ＜Z＜μ+δ）=0.68，P（μ-2δ＜Z＜μ+2δ）=0.95．

某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z近似的服从正态分布N（μ，σ²）．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：
（1）求样本平均数

x

和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A、B、C三家公司的面试．
（i）用样本平均数

x

作为的估计值

̂

μ

，用样本标准差s作为σ的估计值

̂

σ

．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；（ii）若三家公司每家都提供甲、乙、丙三个岗位，岗位工资表如下：

公司	甲岗位	乙岗位	丙岗位
A	9600	6400	5200
B	9800	7200	5400
C	10000	6000	5000

李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为0.3，0.3，0.4．李华准备依次从A、B、C三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会，李华在某公司选岗时，若以该岗位与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择A、B、C公司的哪些岗位？并说明理由．
附：

161

≈12.7若随机变量Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．