某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况．现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同份试卷分别进行预测．经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如表

分组	人数	平均成绩	标准差
正科级干部组	a	80	6
副科级干部组	b	70	4

（1）求a，b；
（2）求这40名科级干部预测成绩的平均分

x

和标准差s；
（3）假设该区科级干部的“党风廉政知识”预测成绩服从正态分布N（μ，σ²），用样本平均数

x

作为μ的估计值

̂

μ

，用样本标准差s作为σ的估计值

̂

σ

．利用估计值估计：该区科级干部“党风廉政知识”预测成绩小于60分的约为多少人？
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974．

《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、18%、22%、22%、18%、7%、3%，选考科目成绩计人考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]、[81，90]、[71.80]、[61，70]、[51，60]、[41，50]、[31，40]、[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩
某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩ξ基本服从正态分布N（70，169）．
（1）求化学原始成绩在区间（57，96）的人数；
（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间[71，90]的人数，求事件X≥2”的概率
（附：若随机变量ξ～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）=0.682，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.954、P（μ-3σ＜ξ＜μ+3σ）=0997）

全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分，得到了如下的频率分布直方图：
（1）求这4000人的“运动参与度”的平均得分

x

（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ，σ²分别取平均得分

x

和方差s²，那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况，现从全市随机抽取4人，记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为ξ，求P（ξ≤3）．（精确到0.001）
附：①s²=204.75，

204.75

=14.31；
②z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜z＜μ+2σ）=0.9544；
③0.8413⁴=0.501．

某玻璃工厂生产一种玻璃保护膜，为了调查一批产品的质量情况，随机抽取了10件样品检测质量
指标（单位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70．

经计算得

x

=

1

10

10

i=1

xi=53.7，s=

1 10 10 i=1 (xi- x 2)

=9.9
生产合同中规定：质量指标在62分以上的产品为优质品，一批产品中优质品率不得低于15%．
（Ⅰ）以这10件样品中优质品的频率估计这批产品的优质品率，从这批产品中任意抽取3件，求有2件为优质品的概率；
（Ⅱ）根据生产经验，可以认为这种产品的质量指标服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差，利用该正态分布，是否有足够的理由判断这批产品中优质品率满足生产合同的要求？
附：若X～N（μ，σ²），P（μ-σ＜X≤μ+σ≈0.6827），P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544

山西省在2019年3月份的高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布N（120，5²），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求全市数学成绩在135分以上的人数；
（2）试由样本频率分布直方图佔计该校数学成绩的平均分数；
（3）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．
附：若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．

某工厂抽取了一台设备A在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）计算该样本的平均值

x

，方差s²；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均值，σ²近似为样本方差s²．任取一个产品，记其质量指标值为X．若|X-μ|≤σ，则认为该产品为一等品；σ＜|X-μ|≤2σ，则认为该产品为二等品；若|X-μ|＞2σ，则认为该产品为不合格品．已知设备A正常状态下每天生产这种产品1000个．
（i）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%？
（ii）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A换得生产相同产品的改进设备B．经测试，设备B正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%．若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B？
参考数据：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826；②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544；③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974，

150

≈12.2．

某学校进行体检，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50个身高介于155cm到195cm之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]（单位：cm），并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180，185）和第七组[185，190）还没有绘制完成，已知第六组和第七组人数之比为5：2．
（1）求出这50人身高的平均值；若将频率视为概率，任取4名男生身高调查，记这4名男生身高位于[165，185）内的个数为X，求X的期望；
（2）若由直方图预计，学生身高数Z近似服从正态分布N（μ，σ²），利用抽样调查所得均值方差估计整体均值方差，求Z落在（166.11，189.78）内的概率．
参考数据：①计算得所抽取50人身高数据标准差为s=

62.25

≈7.89
②若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）≈0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9544

农村精准扶贫政策的实施，大大拓宽了农民的就业渠道，极大地提高了贫困农民的创业意识，增强了农民脱贫致富的自我发展能力，农民收入显著提高．某地民政部门对该地区20～60岁农民某月的收入进行了调查，共有500人参加调查，现将调查数据统计整理后，得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）同一组数据用该区间的中点值作代表，试问参与调查的这500位农民的该月平均收入

R

为多少元？
（Ⅱ）现从年龄在20～60岁的农民中，采用分层抽样的方法，随机抽取该月收入位于区间[5，7]（千元）中的10人，再从这10人中随机抽取5人跟踪调查其收入变化情况．记抽出的5人中收入位于区间[5，6]（千元）的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）经计算知这500位农民该月收入的样本方差s²≈2.32，由频率分布直方图可认为，该地区20～60岁农民的该月收入服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差，根据以上样本数据，估计该地区20～60岁农民中，该月收入不低于5.26千元的农民在总体中所占的比例．
附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜ξ＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ-2σ＜ξ＜μ+3σ）≈0.9973，

2.32

≈1.52．

2019年4月26日，铁人中学举行了盛大的成人礼．仪式在《相信我们会创造奇迹》的歌声中拉开序幕，庄严而神圣的仪式感动了无数家长，4月27日，铁人中学官方微信发布了整个仪式精彩过程，几十年众志成城，数十载砥砺奋进，铁人中学正在创造着一个又一个奇迹．官方微信发布后，短短几个小时点击量就突破了万人，收到了非常多的精彩留言．学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”，其留言者年龄集中在[25，85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：
（Ⅰ）求这100位留言者年龄的样本平均数

x

和样本方差S²（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，留言者年龄x服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本均数

x

，σ²近似为样本方差S²．
（ⅰ）利用该正态分布，求P（60＜X＜73.4）；
（ii）学校从年龄在[45，55]和[65，75]的留言者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“精彩留言”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45，55]的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：

180

≈13.4，若X～N（μ，σ²）（，则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.683，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.954．

某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如表：

每分钟跳绳个数	[145，155）	[155，165）	[165，175）	[175，185）	[185，+∞）
得分	16	17	18	19	20

年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图．

（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）
（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中σ²≈225，μ为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）．利用所得的正态分布模型，解决以下问题：
（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9554，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．