20051 难度：3

已知数列{a_n}满足a₁=

1

3

，a_n+1=-2a_n²+2a_n，n∈N*．
（1）用数学归纳法证明：a_n∈（0，

1

2

）；
（2）令b_n=

1

2

-a_n，证明：

n

i=1

1

bi

≥3ⁿ⁺¹-3．

20052 难度：3

（1）已知f(x)=

x

，x∈[0，+∞），如x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁≠x₂，求证：

1

2

[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；
（2）用数学归纳法证明：当n∈N^*时，3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²能被7整除．

20053 难度：3

设数列{a_n}的通项公式为a_n=

log2n

n

，n∈N*．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）由（1）猜想a_n与a_n+1的大小，并加以证明．

20054 难度：3

是否存在实数a，b，c，使得等式1•3•5+2•4•6+……+n（n+2）（n+4）=

n(n+1)

4

（an²+bn+c）对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．

20055 难度：3

已知n为正整数，请用数学归纳法证明：1+

1

2

+

1

3

+……+

1

n

＜2

n

．

20056 难度：3

已知数列{a_n}满足a₁=

2

3

，

1

an-1

=

2-an-1

an-1-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，用数学归纳法证明：S_n＜n+

1

2

-ln（

n+3

2

）．

20057 难度：3

设i是虚数单位，则复数z=(1+

1

i

)3在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

20058 难度：3

已知复数z₁=3-4i，z₂=-2+3i，则z₁+z₂在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

20059 难度：3

i 为虚数单位，则复数 z=

2-i

i

在复平面上对应的点位于（　　）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

20060 难度：3

已知实数m，n满足（m+ni）（4-2i）=3i+5，则m+n=（　　）

A． 9 5

B． 11 5

C． 9 4

D． 11 4