已知数列{a_n}满足：a₁=1，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=2x+1上．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中你的猜想．

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1＞a_n，（a_n-a_n-1）²=2（a_n+a_n-1）-1，n≥2．
（1）求a₂，a₃，a₄的值并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

（1）是否存在实数a，b，c，使得等式1•2²+2•3²+3•4²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

12

（an²+bn+c）对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值并给出证明；若不存在，请说明理由．
（2）求证：对任意的n∈N*，

1

22

+

2

32

+

3

42

+…+

n

(n+1)2

＜

1

2

+lnn．

设实数a≤1，数列{x_n}满足：x₀=0，xn+1=1-aexn（这里n为任意自然数，e为自然对数的底数）
（1）求x₁，x₂，并分别判断x₁，x₂与0大小关系；
（2）根据（1）的结论猜想x_n（n为任意自然数）与0的大小关系，并用数学归纳法证明你的猜想．

已知数列{a_n）满足a₁=-1，a_n+1=

(3n+3)an+4n+6

n

（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{

an+2

n

}是等比数列；
（Ⅱ）令bn=

3n-1

an+2

，用数学归纳法证明：b_n+1+b_n+2+…b_2n＜

4

5

-

1

2n+1

（n≥2，n∈N*）

随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有n个新农村集结区A₁，A₂，A₃，…，A_n按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上（n≥4），如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路A_iA_j，两条道路的交汇处安装红绿灯（集结区A₁，A₂，A₃，…，A_n除外），在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为P（n）．
（1）求P（4），P（5）；
（2）求P（n），并用数学归纳法证明．

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：anSn=

1

2

a

2 n

-an+1且a_n＞0，n∈N^*．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃的值，并猜想{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明{a_n}的通项公式．

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①、②、③、④为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；
（3）求证：

1

f(1)

+

1

f(2)-1

+

1

f(3)-1

+…+

1

f(n)-1

＜

3

2

．

已知数列{a_n}满足关系式a₁=a（a＞0），a_n=

2an-1

1+an-1

（n≥2，n∈N）．
（1）用a表示a₂，a₃，a₄；
（2）根据上面的结果猜想用a和n表示a_n的表达式，并用数学归纳法证之．

已知数列{a_n}满足：na_n+1=（n+2）（a_n-1），且a₁=6．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想{a_n}的通项公式；
（2）试用数学归纳法证明上述猜想．